Annahme von Lösungen in partiellen Differentialgleichungen

In Griffiths Einführung in die Elektrodynamik wurde bei allen Problemen bezüglich der Berechnung des Potentials in geerdeten Metallrohren und -platten beim Lösen der Laplace-Gleichung angenommen, dass die Lösung ein Produkt von Funktionen von ist X Und j . Es wurde in der Abbildung unten hervorgehoben. Griffiths selbst hat geschrieben, dass die Annahme völlig absurd ist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Meine Frage ist:

Warum machen wir eine solche Annahme, die uns nur eine spezielle Lösung liefert? Warum wählen wir keine allgemeine Lösung, indem wir ein Standardverfahren zum Lösen der pde verwenden? Gibt es irgendeinen Vorteil, diese Art von Annahme zu verwenden?

Denn sonst ist die Aufgabe sehr schwer, weil man eigentlich eine partielle Differentialgleichung lösen muss. Wenn es sich trennt, erhalten wir nur gewöhnliche Differentialgleichungen.
@knzhou Aber dann bekommen wir nur eine kleine Teilmenge aller möglichen Lösungen. Ist das nicht etwas, worüber man sich Sorgen machen muss?
Es ist in Ihrem Beitrag. Indem wir sie zusammenfügen, erhalten wir eine allgemeine Lösung
@count_to_10: Nicht nur eine allgemeine Lösung, die allgemeine Lösung. Einzigartigkeit ist hier wichtig; wie Griffiths selbst sagt (S. 120 der 4. Auflage): „Der Eindeutigkeitssatz ist eine Lizenz für Ihre Vorstellungskraft. Es spielt keine Rolle, wie Sie zu Ihrer Lösung kommen; wenn (a) sie die Laplace-Gleichung erfüllt und (b) es hat den richtigen Wert an den Grenzen, dann ist es richtig .
Sie sollten weiterlesen, denn der Autor wird seine Vermutung ein paar Seiten später rechtfertigen. Der Trick ist, dass dies eine lineare PDE ist. Wenn Sie also zwei Lösungen haben, ist ihre Summierung auch eine Lösung. Sie erhalten als spezielle Lösung Sinus und Cosinus, wenn Sie sie miteinander kombinieren, erhalten Sie eine Fourier-Reihe, mit der Sie die allgemeine Lösung ausdrücken können.
@MichaelSeifert danke Michael, das hätte ich erkennen sollen.

Antworten (1)

Für lineare, partielle Differentialgleichungen (Wellengleichung, Fouriersche Wärmegleichung, Schrödingergleichung, Diffusionsgleichung (zweites Ficksches Gesetz), konvektive Diffusionsgleichung und etliche andere) scheint die Methode der Variablentrennung immer zu funktionieren (und kann sogar angepasst werden für Gleichungen mit Quelltermen, dh nicht homogene PDEs).

Wenn eine Funktion u ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N ) gesucht wird dann ist der Ansatz eine Funktion:

u ( X 1 , X 2 , X 3 , . . . , X N ) = X 1 ( X 1 ) X 2 ( X 2 ) X 3 ( X 3 ) . . . X N ( X N )

Das Einfügen des Ansatzes in die ursprüngliche PDE und minimale Nachbearbeitung ermöglicht dann die Trennung von Variablen in Form einer Reihe von ODEs:

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F N [ X N ( X N ) ]

Einführung einer Trennungskonstante wie − M 2 gibt dann:

F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] + F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] + . . . + F N [ X N ( X N ) ] = − M 2

Wir lösen dann F 1 [ X 1 ( X 1 ) ] = − M 2 unter Verwendung relevanter Randbedingungen. Einmal − M 2 bestimmt können wir auch schreiben:

F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] = − M 2 − F 3 [ X 3 ( X 3 ) ] − . . . − F N [ X N ( X N ) ] = − Ö 2

Wir können also lösen:

F 2 [ X 2 ( X 2 ) ] = − Ö 2

Der Vorgang wird für alle Variablen wiederholt.

Ein schönes Beispiel ist meine Antwort auf diese SE-Frage .

Noch ein Schritt-für-Schritt-Beispiel: Wellengleichung für eine elastische Saite .

Hinweis: das Vorzeichen der Trennungskonstante − M 2 muss ausgewertet werden: es kann null, negativ oder positiv sein.

Gibt es einen Vorteil bei der Verwendung dieser Art von Annahme?

Der Vorteil ist, dass es im Allgemeinen einfach ist und immer zu funktionieren scheint. Die erhaltene Lösung kann natürlich leicht durch erneutes Einfügen in die ursprüngliche PDE verifiziert werden.

Annahme von Lösungen in partiellen Differentialgleichungen
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v