Potential, das von einer Hohlkugel mit einem Loch erzeugt wird

Es ist einfacher, den Ladezustand als zu schreiben

$$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta)}{\partial r}-\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta)}{\partial r}=\sigma(\theta)$$ und beginnen Sie mit der Berechnung des Operators auf der linken Seite. Das ist einfach: $$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta)}{\partial r} = \frac{\partial }{\partial r}\sum_{l=0}^{+\infty}A_l r^{l} P_l(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{+\infty}l\,A_l R^{l-1} P_l(\cos\theta)$$ Und $$\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta)}{\partial r} = \frac{\partial }{\partial r}\sum_{l=0}^{+\infty}B_l r^{-(l+1)} P_l(\cos\theta) = \sum_{l=0}^{+\infty}(-l-1)\,B_l R^{-l-2} P_l(\cos\theta).$$ Ihr Unterschied ist daher $$\begin{align} \frac{\partial \phi(r\rightarrow R_-,\theta)}{\partial r}-\frac{\partial \phi(r\rightarrow R_+,\theta)}{\partial r} &= \sum_{l=0}^{+\infty}\left[l R^{l-1}\,A_l +(l+1) R^{-l-2}B_l\right]P_l(\cos\theta) \\&= \sum_{l=0}^{+\infty}(2l +1)R^{l-1}A_lP_l(\cos\theta), \end{align}$$ Verwendung der Bedingung $A_l/B_l=R^{-(2l+1)}$die du schon hast. Sie versuchen also, die Koeffizienten in der Legendre-Erweiterung der Ladungsfunktion zu erhalten $\sigma(\theta)$, oder mit anderen Worten die Umkehrung der Gleichung $$\sum_{l=0}^{+\infty}(2l +1)R^{l-1}A_lP_l(\cos\theta)=\sigma(\theta).$$

Dies geschieht natürlich durch Berufung auf die Orthogonalitätsbedingung der Polynome ,

$$\int_0^\pi P_l(\cos\theta) P_n(\cos\theta)\sin\theta\mathrm d \theta=2\delta_{ln}/(2l+1).$$ Integration beider Seiten gegen Willkür $P_l$, du erhältst

$$2R^{l-1}A_l = \int_0^\pi P_l(\cos\theta) \sigma(\theta)\sin\theta\mathrm d \theta = \sigma_0\int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) \sin\theta\mathrm d \theta,$$ Sie müssen also nur noch integrieren. Das sieht nach einer lästigen Pflicht aus, aber es ist nützlich zu wissen, dass die einzelnen Ableitungen orthogonaler Polynome als allgemeines Prinzip normalerweise als kleine Linearkombinationen benachbarter Polynome ausdrückbar sind. Für die Legendre-Polynome ist die relevante Identität $$(2l+1)P_l(u)=\frac{d}{du}\left[P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u)\right].$$ Wenn Sie dies implementieren, erhalten Sie $$\begin{align} A_l &= \frac{\sigma_0}{2R^{l-1}} \int_{-1}^{\cos(\alpha)} P_l(u) \mathrm du \\ &= \frac{1}{2l+1}\frac{\sigma_0}{2R^{l-1}} \int_{-1}^{\cos(\alpha)}\frac{d}{du}\left[P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u)\right]\mathrm du \\ &= \frac{1}{2l+1}\frac{\sigma_0}{2R^{l-1}} \left[P_{l+1}(u)-P_{l+1}(u)\right]_{-1}^{\cos(\alpha)} \\ &= \frac{1}{2l+1}\frac{\sigma_0}{2R^{l-1}} \left[P_{l+1}(\cos(\alpha))-P_{l+1}(-1)+P_{l-1}(-1)-P_{l+1}(\cos(\alpha))\right] \\ &= \frac{1}{2l+1}\frac{\sigma_0}{2R^{l-1}} \left[P_{l+1}(\cos(\alpha))-P_{l+1}(\cos(\alpha))\right]. \end{align}$$ Dies führt dann zu dem gewünschten Ergebnis, Modulo-Konstanten, mit denen Sie vorsichtig sein sollten.

Außerhalb von Gebührenverteilungen ist die allgemeine (nicht$\phi$-abhängige) Lösung von$\Delta\Phi=0$nimmt die Form an, die Sie beschrieben haben. Angenommen, die Lösungen für$r \lt R$Und$r \gt R$Nimm die Form, die du erwähnst, dann das elektrische Feld$\overrightarrow{E} = -\nabla\Phi$hat die folgenden Werte in sphärischen Koordinaten:

$$r \lt R: \overrightarrow{E}_{r \theta \phi}=-\sum_{l=0}^\infty \left( \begin{array}{c}A_ll r^{l-1} P_l(\cos\theta)\\A_lr^{l-1}P_l^{'}(\cos\theta) \cdot -sin\theta\\0\end{array} \right)$$ $$r \gt R: \overrightarrow{E}_{r \theta \phi}=-\sum_{l=0}^\infty \left( \begin{array}{c}-B_l(l+1) r^{-(l+2)} P_l(\cos\theta)\\B_lr^{-(l+2)}P_l^{'}(\cos\theta) \cdot -sin\theta\\0\end{array} \right)$$

So nutzen$B_l=R^{2l+1}A_l$, die Größe des Normalteils$E_r$innerhalb und außerhalb der Kugel für r=R, hat die folgenden Werte:

$$r \lt R: \overrightarrow{E}_{r=R_-}=-\sum_{l=0}^\infty A_ll R^{l-1} P_l(\cos\theta) * \overrightarrow{e_r}$$ $$r \gt R: \overrightarrow{E}_{r=R_+}=\sum_{l=0}^\infty A_l(l+1)R^{l-1}P_l(\cos\theta) * \overrightarrow{e_r}$$

Betrachten Sie nun die Oberfläche, die gerade die Ladungsverteilung umschließt, und wenden Sie das Gesetz von Gauß an$\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_V div\overrightarrow{E}d^3x$

Hier$\overrightarrow{dS}$nach außen zeigt, also zum Ursprung für das Innere und vom Ursprung weg für das Äußere der Kugel. Das sagen uns die Maxwell-Gleichungen$div\overrightarrow{E}=\frac{\rho}{\epsilon_0}$, so finden wir das

$$\int div\overrightarrow{E}d^3x=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \frac{\sigma}{\epsilon_0} R^2sin\theta d\theta=2\pi\int_\alpha^\pi \frac{Q}{\pi\epsilon_0}sin\theta d\theta=2\frac{Q}{\epsilon_0}(1+cos\alpha)$$

Die Oberflächenintegrale werden zu ausgewertet

$$\int\!\!\!\int_{S_{inside}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \sum_{l=0}^\infty A_ll R^{l-1} P_l(\cos\theta) Rsin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_ll R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta$$ Und $$\int\!\!\!\int_{S_{outside}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=\int_0^{2\pi}d\phi\int_\alpha^\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(l+1) R^{l-1} P_l(\cos\theta) Rsin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(l+1) R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta$$ Also insgesamt $$\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(2l+1) R^l \int_\alpha^\pi P_l(\cos\theta) sin\theta d\theta=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l(2l+1) R^l \cdot -\int_{cos\alpha}^{-1} P_l(x)dx$$ Nutzung der Identität $(2l+1)P_l = P_{l+1}^{'} - P_{l-1}^{'}$, wir bekommen $$\oint_{S}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l \int_{-1}^{cos\alpha} [P_{l+1}^{'}(x) - P_{l-1}^{'}(x)]dx=\\2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l [P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)]$$

Dies gibt uns eine Einschränkung für die Werte von$A_l$, nämlich

$$\sum_{l=0}^\infty A_l R^l [P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)] = \frac{Q}{\pi\epsilon_0}(1+cos\alpha)$$ Folgendes wird also funktionieren: $$A_l = \frac{Q}{\pi\epsilon_0 R^l}\cdot\frac{1}{2^{l+1}}\cdot\frac{1+cos\alpha}{P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)}$$ aber ich kann nicht sehen, wie ich auf den von Ihnen angegebenen Wert komme, $$A_l = \frac{QR^{-(l+1)}}{8\pi\epsilon_0(2l+1)}[P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)]$$

Übrigens zeigt uns das ein ähnliches Argument wie das obige, jetzt für die Oberfläche, die den ungeladenen Pol der Kugel umschließt

$$\oint_{S^{'}}\overrightarrow{E}\overrightarrow{dS}=2\pi \sum_{l=0}^\infty A_l R^l \cdot -[P_{l+1}(cos\alpha) - P_{l-1}(cos\alpha)] = \int div\overrightarrow{E}d^3x = 0$$

Offensichtlich bildet dies zusammen mit der anderen Formel einen Widerspruch - also müssen die Lösungen innerhalb und außerhalb der Kugel anders sein als die angenommenen. Nicht unlogisch, da der offene Pol Felder von einer Seite der Kugel auf die andere Seite durchdringen lässt, aber es ist unklar, worauf dies hinausläuft.

Offensichtlich alle in der Nähe des Ursprungs$B_l$muss Null sein, und im Unendlichen alle$A_l$ebenfalls null sein, aber wo gehen diese Grundlösungen zusammen? Wo sind ihre Grenzen?