Klärung der Multipolerweiterung für eine Punktladung

Die zu a gehörenden Multipolkoeffizienten$1/|r|$Verteilung$\rho$hängt von der Herkunftswahl ab. Wenn Sie beispielsweise eine Punktladung haben und den Ursprung so wählen, dass er bei dieser Punktladung liegt, dann hat sie einen reinen Monopolcharakter. Wenn Sie jedoch wählen, dass der Ursprung anderswo liegt, hat er andere Expansionskoeffizienten als der Monopol. Dies ist ein Artefakt Ihrer Wahl des Koordinatensystems.

Um dies streng zu machen, lassen Sie$\mathbf{I}=\{I_0^0,I_1^{-1},I_1^{0},I_1^1,...\}$Und$\mathbf{R}=\{R_0^0,R_1^{-1},R_1^{0},R_1^1,...\}$sei die Menge von unregelmäßigen und regelmäßigen Volltonharmonischen. Dann das Potenzial$V(\mathbf{r})$wegen$\rho$lässt die äußeren und inneren Multipolausdehnungen zu

$$V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{I}_J\rangle\left\langle\mathbf{R}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\sum_{J=0}^\infty \mathbf{R}_J\rangle\left\langle\mathbf{I}_J,\rho\right\rangle\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$ oder in Matrixschreibweise, $$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}.$$

In dem Fall wo$\rho$rein real ist, können wir die realen festen Harmonischen verwenden$\mathbf{I}'$Und$\mathbf{R}'$, die durch eine unitäre Blockdiagonalmatrix mit den Standard-Volltonharmonischen in Beziehung stehen $\mathbf{U}$über$\mathbf{I}'=\mathbf{I}\mathbf{U}$woraus wir die analogen reellen Entwicklungen erhalten

$$V=\mathbf{I}\mathbf{R}^\dagger\rho=\mathbf{I}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{R}^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\dagger\rho=[\mathbf{I}'][\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|>r_\text{max} \\ V=\mathbf{R}\mathbf{I}^\dagger\rho=\mathbf{R}\mathbf{U}\mathbf{U}^\dagger\mathbf{I}^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\dagger\rho=[\mathbf{R}'][\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho\qquad\text{when }|\mathbf{r}|<r_\text{min}$$

was den Vorteil hat, dass die Liste der Multipolmomente$[\mathbf{I}']^\mathsf{T}\rho$oder$[\mathbf{R}']^\mathsf{T}\rho$sind rein real.

Warum also hat eine Punktladung, die sich nicht am Ursprung befindet, andere Momente als einen Monopol? Aus dem gleichen Grund wackelt eine Waschmaschine mit einem Waschbären darin beim Waschgang: Sie ist nicht ausbalanciert, da die Ladungen (bzw. Massen) nicht im Zentrum des jeweiligen Koordinatensystems liegen.

Als expliziten Beweis dafür, warum eine Punktladung, die sich nicht am Ursprung befindet, kein reines Monopolmoment haben kann, nehmen Sie etwas anderes an. Dann wird eine Testladung gleichmäßig zum Mittelpunkt des Koordinatensystems hin beschleunigt, statt zur Punktladung. Dies ist ein Widerspruch. Daher müssen höhere Momente beteiligt sein.

Alternativ kann eine detaillierte Begründung auch durch Anwendung des Additionstheorems für sphärische Harmonische erhalten werden, aber hoffentlich ist der im vorherigen Absatz gegebene Beweis ausreichend aufschlussreich, um zu zeigen, warum höhere Momente auftreten, wenn sich eine Punktladung nicht am gewählten Ursprung befindet.

Hier ist ein numerisches Beispiel zur Berechnung der Momente einer einzelnen Punktladung, die sich bei sphärischen Koordinaten befindet$(R,\pi/2,0)$in Mathematica (es berechnet auch das Potential$V$an einem beliebigen Punkt und vergleicht es mit dem Potenzial, das sich aus der direkten Anwendung von ergibt$V=1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|$):

SolidHarmonicI[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)]
    SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]]/r^(l + 1);
SolidHarmonicR[l_, m_, r_, \[Theta]_, \[Phi]_] := 
  Sqrt[(4 \[Pi])/(2 l + 1)] r^
   l SphericalHarmonicY[l, m, \[Theta], \[Phi]];
SphToCart = CoordinateTransform["Spherical" -> "Cartesian", #] &;
r = {R, \[Pi]/2, 0};(*Spherical coordinates of point charge*)

Q[L_, m_] := ((-1)^m SolidHarmonicR[L, -m, ##] & @@ 
    r) q;(*Exterior multipole moment or order (L,m)*)
MatrixForm[
 Table[Q[L, m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}]]
rule = {R -> 1.2, q -> 2, 
   rtest -> 5.2, \[Theta]test -> 1.2, \[Phi]test -> 2.3};
Chop[Sum[SolidHarmonicI[L, m, rtest, \[Theta]test, \[Phi]test] Q[L, 
     m], {L, 0, 5}, {m, -L, L}] /. rule]
q/Norm[SphToCart@r - 
    SphToCart@{rtest, \[Theta]test, \[Phi]test}] /. rule

0,332219

0,332273

$$\left( \begin{array}{c} \{q\} \\ \left\{\frac{q R}{\sqrt{2}},0,-\frac{q R}{\sqrt{2}}\right\} \\ \left\{\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2,0,-\frac{q R^2}{2},0,\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}} q R^2\right\} \\ \left\{\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,\frac{1}{4} \sqrt{3} q R^3,0,-\frac{1}{4} \sqrt{5} q R^3\right\} \\ \left\{\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4,0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{3 q R^4}{8},0,-\frac{1}{4} \sqrt{\frac{5}{2}} q R^4,0,\frac{1}{8} \sqrt{\frac{35}{2}} q R^4\right\} \\ \end{array} \right)$$

Beachten Sie, dass es immer Momente ungleich Null für alle Befehle gibt$R\neq 0$. Das Potential am Prüfort stimmt jedoch bis auf Promille genau, wenn die Summe aufläuft$L=4$.

Wie beweise ich, dass eine einzelne Punktladung nur Monopol hat?

Satz$R=0$im obigen Zahlendreieck. Alles verschwindet außer dem Monopolterm.