Wann gilt das Superpositionsprinzip?

Ich ging aus meinen allgemeinen Physikkursen davon aus, dass das Superpositionsprinzip nur eine empirische Tatsache über Kräfte ist. Dann könnte ich verstehen, dass abgeleitete Mengen wie die E Und B Felder würden ihm auch gehorchen, weil zum Beispiel:

F 1 + F 2 = Q E 1 + Q E 2 = Q ( E 1 + E 2 ) = F T Ö T A l ⟹ E 1 + E 2 = E T Ö T A l
Aber gestern sah ich, dass auf der Wikipedia-Seite zum Gravitationspotential angegeben wurde, dass "das mit einer Massenverteilung verbundene Potential die Überlagerung der Potentiale von Punktmassen ist". Offenbar gehorcht also auch die potenzielle Energie der Gravitation dem Superpositionsprinzip.

Dies führt mich zu der Frage, was alles die Größen sind, die der Superposition gehorchen. Gehorchen ihr zum Beispiel alle Arten von Energie? Besser noch, gibt es eine Möglichkeit zu bestimmen, ob eine gegebene Größe (Zahl/Vektor/usw.) theoretisch dem Prinzip der Überlagerung gehorcht, oder brauchen wir für jede ein empirisches Gesetz?

Ein Blick auf die Wikipedia-Seite zum Superpositionsprinzip half nicht, da dort angegeben wurde, dass alle linearen Systeme ihm gehorchten. Aber woher wissen wir, ob ein System linear ist? Ich weiß, wie man bestimmt, ob eine Funktion linear ist, aber nehmen wir zum Beispiel die potenzielle Energie der Gravitation:

U G = − G M M R
Dieses Gesetz hat 3 unabhängige Variablen. Es ist linear in M Und M aber nicht drin R . Wie würde ich also bestimmen, welche dieser Variablen linear sein muss, damit die potenzielle Energie der Gravitation dem Prinzip der Überlagerung gehorcht?

Das ist einfacher als es aussieht: Das Gravitationsfeld verschiedener Massen überlagert sich, wenn die Gleichung linear in der Masse ist. Das ist alles dazu.
Ein lineares System gehorcht per Definition dem Superpositionsprinzip. Energie ist additiv und Gravitationspotentiale gehorchen dem Superpositionsprinzip, sind also gewissermaßen linear. Die resultierende Dynamik von Massen in Gravitationsfeldern hat diese Eigenschaft jedoch nicht. Die Summe zweier Orbitallösungen ist keine Orbitallösung, daher ist das tatsächliche physikalische System nicht linear und das Superpositionsprinzip gilt nicht.
@knzhou Warum spielt die Tatsache, dass sich diese Massen in unterschiedlichen Entfernungen befinden können, keine Rolle?
@BobDylan Es wird berücksichtigt. Im Allgemeinen, wenn Sie bedenken F ( X , j ) = X G ( j ) , Dann F ( X 1 + X 2 , j ) = ( X 1 + X 2 ) G ( j ) = X 1 G ( j ) + X 2 G ( j ) = F ( X 1 , j ) + F ( X 2 , j ) . Hier, X ist die Masse und G ( j ) steht für alle anderen Abhängigkeiten.
Eine ähnliche Frage wurde erst vor ein paar Wochen gestellt.
Kurze Antwort: Die Definition eines linearen Systems ist eine, bei der Superposition funktioniert.

Antworten (2)

Du hast alles falsch verstanden.

Kräfte addieren sich als Vektoren. Das ist die Addition für die Linearität. Wenn Ihre Kräfte die Summe paarweiser Kräfte sind, die jeweils auf zwei Körper zurückzuführen sind, und sie jeweils ein paarweises Potential oder ein paarweises Feld haben, können wir aus der Addition der Kräfte schließen, dass das effektive Mehrteilchenpotential oder das effektive Mehrteilchenfeld die Summe von ist die einzelnen Potenziale oder Felder.

Verwenden Sie also keine Linearität, um zu beweisen, dass sich Kräfte addieren. Verwenden Sie die Tatsache, dass sich Kräfte addieren, um die Potentiale und Felder der Multipartikel zu finden.

Für Ihr Newtonsches Gravitationsbeispiel ist die potentielle Energie also ein Skalarfeld im Konfigurationsraum:

U ( R → 1 , R → 2 , R → 3 ) = − G M 1 M 2 | R → 1 − R → 2 | − G M 1 M 3 | R → 1 − R → 3 | − G M 3 M 2 | R → 3 − R → 2 | .

Das Prinzip der Superposition ist in keiner Weise offensichtlich. Es ist jedoch eine experimentell verifizierte Tatsache mit einer gewissen Genauigkeit. Wenn Sie sich das Newtonsche Gesetz oder das Coulombsche Gesetz ansehen, sagt es nichts darüber aus, dass die Nettokraft die Summe der Einzelkräfte ist, als ob alle anderen Teilchen abwesend wären. Es gibt keinen Grund dafür, dass die Nettokraft nicht nicht linear in Beziehung steht.

Es ist eines dieser Grundprinzipien, die als selbstverständlich angesehen werden, ähnlich dem Äquivalenzprinzip oder dem Hamilton-Prinzip.

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