Warum ist die Antwort des Systems dieselbe Frequenz wie die Frequenz der Antriebskraft?

Bestimmen Sie mathematisch, ob das physikalische System linear ist; dh kann es durch eine gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) oder durch ein System von ODEs beschrieben werden. Die meisten einfachen mechanischen und elektronischen Systeme können auf diese Weise modelliert werden.

Nehmen Sie nun eine beliebige einfache ODE, beispielsweise zweiter Ordnung, und modellieren Sie die homogene ODE beispielsweise mit Matlab. Fügen Sie als nächstes eine Fahrfunktion auf der rechten Seite hinzu, wodurch es zu einer inhomogenen ODE wird; Eine Kosinusfunktion würde funktionieren, wenn Ihre Ausdrücke real sind, sonst eine komplexe Exponentialfunktion.

Wenn dieses System modelliert wird, sehen Sie die Antriebsfrequenz bei der Arbeit und die entsprechenden Reaktionen. Dieses Beispiel zeigt, wie lineare Systeme auf eine Steuerfrequenz reagieren. Aus diesem Grund werden lineare Algebra und ODEs oft zusammen studiert.

Wenn Sie mit mehreren Frequenzen fahren, treten zusätzliche Phänomene auf. Wenn das Material eine nichtlineare Antwort hat, wird die Situation reichhaltiger und komplizierter.

Technisch gesehen müssen Oszillationen in Abwesenheit von Dissipation nicht auf diejenigen der Ansteuerfrequenz beschränkt sein, sondern Ansteuerfrequenzoszillationen sind immer unter Ansteuerung vorhanden und stehen somit im Mittelpunkt der Diskussion. Liegt jedoch eine Dissipation vor, so verlieren Schwingungen, die nicht durch den Antriebseintrag aufrechterhalten werden, Energie und klingen mit der Zeit ab, während die angetriebenen durch den konstanten Energieeintrag der Antriebskraft unterstützt werden.

Angenommen, Ihr System wird durch einen Satz von Koordinaten beschrieben, die in einem Vektor zusammengefasst sind${\bf u}(t)$, die entsprechende treibende Kraft ist einige${\bf f} e^{i\omega t}$(Dies kann, wie Sie vorschlagen, nur eine Komponente ungleich Null haben) und die Dynamik ist nicht dissipativ und von der Form

$$A{\bf u}(t) = {\bf f} e^{i\omega t}$$ Wo $A = A\left(\frac{d}{dt}\right)$ist ein linearer Differentialoperator, meist 2. Ordnung. Dann die allgemeine Lösung für ${\bf u}(t)$liest $${\bf u}(t) = {\bf u}_0(t) + {\bf u}_1(t)$$ Wo ${\bf u}_0(t)$ist eine Lösung ohne Autofahren, $$A{\bf u}_0(t) = 0$$ Und ${\bf u}_1(t)$ist eine bestimmte Lösung unter dem Fahren, $$A{\bf u}_1(t) = {\bf f} e^{i\omega t}$$ Ersteres ist vom oszillierenden Typ, während letzteres unter dem Ansatz zu finden ist ${\bf u}_1(t) = {\bf u}^0_1e^{i\omega t}$und wird getriebene Oszillationen beitragen. In diesem Fall ist die allgemeine Lösung also eine Überlagerung von ungestörten und angetriebenen Schwingungen.

Nehmen wir nun an, wir addieren den einfachsten dissipativen Beitrag in Form einer identischen Reibungskraft auf alle Komponenten, sodass die Dynamik wird

$$A{\bar{\bf u}} + \lambda {\bar{\bf u}} \equiv (A + \lambda){\bar{\bf u}} = {\bf f} e^{i\omega t}$$ Die allgemeine Lösung berücksichtigt wieder einen Beitrag ${\bar{\bf u}}_0(t)$von der ungestörten Dynamik bei fehlender Fahrweise, aber in diesem Fall ${\bar{\bf u}}_0(t)$befriedigen muss $$(A + \lambda){\bar{\bf u}}_0(t) = 0$$ und ist im Allgemeinen eine gedämpfte Lösung der Form $${\bar{\bf u}}_0(t) = {\tilde{\bf u}}_0(t)e^{-\kappa(\lambda) t}$$ Die getriebene Lösung bleibt dagegen nach wie vor eine oszillierende, ${\bar{\bf u}}_1(t) = {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t}$trotz der dissipativen Laufzeit (einfach einstecken ${\bar{\bf u}}_1(t)$und sehen Sie, wie die resultierende Gleichung modifiziert wird). Insgesamt bleiben wir also übrig $${\bar{\bf u}} = {\tilde{\bf u}}_0(t)e^{-\kappa(\lambda) t} + {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t}\;\; \rightarrow \;\; {\tilde{\bf u}}^0_1e^{i\omega t} \;\;\text{as}\;\;t\rightarrow \infty$$ Die ungestörten Schwingungen klingen einfach ab, nur die angetriebenen bleiben bestehen.

Hinweis : Peter Diehr hat seine Antwort gepostet, während ich dies tippte, aber nicht in meinem Editor angezeigt. Also viele Überschneidungen.

Lassen Sie mich einen allgemeineren Ansatz versuchen.

Alle Kräfte werden auf die eine oder andere Weise von Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit transportiert. Die Stärke der Kraft zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht der Stärke der Quelle zum Zeitpunkt ihrer Emission. Wenn die Kraft an einem bestimmten Punkt oszilliert, bedeutet dies nur, dass die Quelle oszilliert hat. Und da alle bekannten Kräfte nicht direkt von der Reisezeit abhängen (sie können nur mit der Entfernung abnehmen), müssen sie dieselbe Frequenz haben.

Wenn Sie nun eine sich bewegende Quelle oder ein sich bewegendes Ziel haben, kann es aufgrund des Doppler-Effekts oder anderer kniffliger Dinge zu Frequenzänderungen kommen. Darüber hinaus kann es bei der Betrachtung von Wechselwirkungen mit mehreren Partikeln auch komplexe Verhaltensweisen geben, die zu Änderungen der Frequenz führen.

Der nächste Punkt ist die Folge dieser Kraft auf das untersuchte System. Wenn das System linear ist (Antwort proportional zur Kraft), dann hat die Antwort fast per Definition die gleiche Frequenz. Die anderen Antworten waren in diesem speziellen Punkt ziemlich gut.

Bearbeiten: Tatsächlich können einige Kräfte von der Reisezeit abhängen. Konzentrieren wir uns hier einfach auf die elektromagnetische Wechselwirkung.