Ihre Frage scheint zwei Teile zu enthalten. Zunächst fragen Sie, wie Sie die Bewegungsgleichungen für dieses gekoppelte System aufstellen. Zweitens fragen Sie, wie Sie Symmetrieüberlegungen verwenden können, um die normalen Modi und Frequenzen zu finden. Lassen Sie uns zuerst den Teil über Symmetrie beantworten

Normalmodi - Symmetrie

Ihre Beobachtung zur Reflexionssymmetrie ist genau richtig. Allgemein sind die Normalmoden des gekoppelten Systems Linearkombinationen der Moden des ungekoppelten Systems. Wie Sie darauf hingewiesen haben, hat das System eine Reflexionssymmetrie. Das bedeutet, dass die Moden des gekoppelten Systems ebenfalls Reflexionssymmetrie haben, obwohl die Moden unter dieser Symmetrie gerade oder ungerade sein können. Der Modus mit gleichmäßiger Reflexionssymmetrie ist derjenige, bei dem der Strom eines Stromkreises im Uhrzeigersinn fließt und der Strom des anderen Stromkreises gegen den Uhrzeigersinn fließt. Sie können sehen, dass dieser Modus eine gleichmäßige Reflexionssymmetrie hat, indem Sie sich vorstellen, das Diagramm aufzuheben und von links nach rechts zu spiegeln, wie in der beigefügten Abbildung gezeigt.

Aus diesen Überlegungen sollten Sie in der Lage sein, herauszufinden, wie der ungerade Modus aussieht. Weißt du, wie man die Frequenzen von hier bekommt?

Bewegungsgleichungen

Hier zeigen wir, wie man Bewegungsgleichungen aufschreibt, wenn es um Gegeninduktivität geht. Der linke Kreis soll Nr. 1 und der rechte Kreis Nr. 2 heißen. Bezeichnen Sie die Induktivität und Kapazität von Schaltung Nr. 1 als$L_1$Und$C_1$, und ähnlich für Schaltung Nr. 2.

Bezeichne mit$V_1$Und$I_1$die Spannung über und Strom durch$L_1$, und ähnlich für$V_2$Und$I_2$.

Eine gegenseitige Induktivität bedeutet, dass die beiden Induktoren den Fluss teilen. Insbesondere der Fluss in$L_1$wegen der strömung$I_2$Ist

$$\Phi_{1,2} = M I_2$$ .

Dies ist nur die Definition der Gegeninduktivität. Dieser Fluss trägt zum Eigenfluss bei$\Phi_{1,1}$von Schaltung Nr. 1. Daher haben wir

$$\Phi_1 = \Phi_{1,1} + \Phi_{1,2} = L_1 I_1 + M I_2$$

Differenzieren Sie beide Seiten, um zu bekommen

$$\dot{\Phi}_1 = - L_1 \ddot{Q}_1 - M \ddot{Q}_2$$

wo wir hier verwendet haben$I_1 = -Q_1$was richtig ist, weil Strom, der durch jeden Induktor nach unten fließt, vom entsprechenden Kondensator wegfließt . Sie haben gelernt, dass die zeitliche Änderungsrate des Flusses eines Induktors die Spannung darüber angibt:$\dot{\Phi} = V$. Mit dieser Tatsache gibt uns

$$V_1 = -L_1 \ddot{Q}_1 - M \ddot{Q}_2 .$$

Die Spannung über der Induktivität und dem Kondensator ist gleich, weil sie parallel geschaltet sind. Deshalb,$V_1 = Q_1 / C_1$durch die Definition der Kapazität, was zu

$$\begin{align} \omega_1^2 Q_1 &= - \ddot{Q}_1 - (M/L_1) \ddot{Q}_2 \\ \text{and by symmetry} \qquad \omega_2^2 Q_2 &= - \ddot{Q}_2 - (M/L_2) \ddot{Q}_1 \end{align}$$

Wo$\omega_i \equiv 1/\sqrt{L_i C_i}$. Sind diese Gleichungen sinnvoll? Wenn$M=0$dann haben wir

$$\omega_1^2 Q_1 = -\ddot{Q}_1 \qquad \text{and} \qquad \omega_2^2 Q_2 = - \ddot{Q}_2$$

das ist genau das, was Sie von ungekoppelten Oszillatoren erwarten. Daher sind unsere Bewegungsgleichungen wahrscheinlich richtig.