Effektiver Widerstand über 2 benachbarte Eckpunkte eines Dodekaeders mit jeder Kante rrr

Question

Effektiver Widerstand über 2 benachbarte Eckpunkte eines Dodekaeders mit jeder Kante rrr

Aritra Das

Was ist der effektive Widerstand über 2 benachbarte Ecken eines regelmäßigen Dodekaeders (12 Flächen), wobei jede Kante einen Widerstand hat? $r$ ?

Hier ist die Quelle für das Problem, es ist Problem 20. auf dem Blatt.

Im Link wird ein typisches Problem mit Symmetrie (unendliches quadratisches Gitter, Widerstand zwischen benachbarten Ecken) gelöst und dann angegeben

Es scheint, dass eine solche Symmetrisierungstechnik auch auf endliche Gitter angewendet werden kann.

Ich suche nach Ideen, wie ich diese Technik auf ein Dodekaeder anwenden kann. Allgemeiner suche ich nach Beispielen, wo solche Symmetrisierungstechniken für endliche Gitter verwendet werden können.

Neugierig

Sie können es sicherlich halbieren und Knoten mit gleichem Potenzial identifizieren. Die Kanten zwischen diesen Knoten können dann zur weiteren Vereinfachung geschnitten werden. Alternativ können Sie eine Star-Mesh-Transformation darauf anwenden, die zum geometrischen Dual führen sollte und möglicherweise weniger Knoten hat (20 bis 12 ... vielleicht fehlt mir etwas)?

Aritra Das

@CuriousOne Ich verstehe deine Idee, aber wird das nicht zu hektisch für ein Dodekaeder? Schließlich sind 12 Knoten nicht zu wenig.

Antworten (1)

Effektiver Widerstand über 2 benachbarte Eckpunkte eines Dodekaeders mit jeder Kante rrr

Sie können es sicherlich halbieren und Knoten mit gleichem Potenzial identifizieren. Die Kanten zwischen diesen Knoten können dann zur weiteren Vereinfachung geschnitten werden. Alternativ können Sie eine Star-Mesh-Transformation darauf anwenden, die zum geometrischen Dual führen sollte und möglicherweise weniger Knoten hat (20 bis 12 ... vielleicht fehlt mir etwas)?
@CuriousOne Ich verstehe deine Idee, aber wird das nicht zu hektisch für ein Dodekaeder? Schließlich sind 12 Knoten nicht zu wenig.

kristjan · Answer 1

Um das Problem symmetrisch zu machen, bedenken Sie Folgendes: Was passiert, wenn Sie das Dodekaeder nehmen und Strom treiben $I$ hinein vom Scheitelpunkt $A$ und fahren $I/20$ aus allen Ecken (einschließlich $A$ )? Nach Kirchhoffs Gesetzen und Symmetrie gibt es einen Strom

$I_{A-out} = \frac{(I-I/20)}{3} = \frac{19}{60}I$

gehen von $A$ zu benachbarten Scheiteln.

Nun nehme an $B$ ist ein Nachbar von $A$ und wir tun das gleiche für $B$ , aber mit Strom $-I$ (daher fließt Strom hinein $B$ von nahegelegenen Scheitelpunkten). Wieder stellen wir fest, dass es eine Strömung gibt

$I_{B-in} = \frac{19}{60} I$

hineinfließen $B$ . Jetzt überlagern wir diese Lösungen - wir erhalten eine Lösung, wo es Strom gibt $I$ hinein gehen $A$ und es kommt alles heraus $B$ . Beachte das auch $\pm I/20$ das Verlassen von jedem Scheitelpunkt ist ebenfalls verschwunden. Allerdings die Kante verbinden $A$ Und $B$ Strom hat

$I' = I_{A-out} + I_{B-in} = \frac{19}{30} I$

Also die Spannung zwischen $A$ Und $B$ Ist $U = I'r$ , daher

$U/I' = \frac{19}{30} r$

(das ist die richtige Antwort).

Ich habe mich entschieden, dieses Problem zu lösen, anstatt einfach nur Ideen zu geben, weil die Lösung einige Ideen aus früheren Problemen auf dem Blatt verwendet hat, so dass es für andere Benutzer auf diese Weise wahrscheinlich nützlicher ist.

Ich liebe diesen Ansatz. Wie würde man auf zwei beliebige Knoten verallgemeinern (z. B. wenn die beiden Knoten nicht benachbart wären?)
@Floris: Mit Dodekaeder ist es möglich, dies mit zwei beliebigen Knoten zu tun, da es möglich ist, den Strom zu finden (wenn der gesamte Strom kommt). $A$ ) in jeder Kante nur mit Symmetrie. Später können Sie die Spannung zwischen finden $A$ Und $B$ durch Hinzufügen mehrerer Spannungen an Widerständen. Beachten Sie jedoch, dass dies in einem unendlichen Gitter nicht so einfach (oder sogar möglich) ist, da sich der Strom nicht gleichmäßig zwischen weiter entfernten Knoten verteilt.
Das ist sehr elegant, aber wo nutzen wir bei all dem die Tatsache, dass es sich um ein Dodekaeder handelt und nicht um eine andere Schaltungstopologie mit der gleichen Anzahl von Scheitelpunkten? Wo ist die Information enthalten, dass alle Zweige den gleichen Widerstand haben?
„Jetzt überlagern wir diese Lösungen“ – was genau bedeutet „überlagern“? (Es sollte einige zusätzliche Bedingungen geben - siehe den Kommentar von @ CuriousOne oder die Frage, warum Sie verschiedenen Scheitelpunkten keine unterschiedlichen Ströme zuweisen konnten, sodass sie sich überall aufheben.)
@CuriousOne: Nun, es beweist im Wesentlichen, dass jede Schaltung mit 20 Knoten, so dass 3 Kanten mit jedem Knoten verbunden sind und jeder Knoten symmetrisch zu jedem anderen Knoten ist (denn wenn dies nicht der Fall wäre, könnte meine Annahme einer gleichmäßigen Verteilung von Strömen sein falsch werden) hat einen effektiven Widerstand von $\frac{19}{30} r$ . Ich vermute, dass dies die einzige Schaltung sein könnte, die diese Einschränkungen erfüllen würde. Wenn es jedoch andere gibt, beweist dies, dass alle diese Schaltungen den gleichen Widerstand haben.
@CuriousOne Und ich kann Symmetrie verwenden, weil alle Widerstände gleich sind.
@NorbertSchuch Der Kommentar zu CuriousOne sollte die meisten Ihrer Fragen beantworten. Verschiedenen Knoten unterschiedliche Ströme zu geben, ist keine gute Idee, da ich dafür sorge, dass sich zunächst alle Ströme gleichmäßig aus verteilen $A$ indem Sie einfach die Tatsache nutzen, dass die Situation in Bezug auf alle 3 Richtungen symmetrisch ist, in die der Strom fließen kann. Damit der Beweis funktioniert, müssen diese Ströme auch bzgl. symmetrisch sein $B$ . Der bei weitem einfachste (und möglicherweise einzige) Weg ist, ein Gleiches zu nehmen $I/20$ von jedem Knoten.
@kristjan Es ist nicht so, dass ich das Argument nicht mag, ich sehe nur nicht, wie man das in Gleichungen bringen könnte (was mich misstrauisch macht). Wenn Sie davon ausgehen, dass von jedem Scheitelpunkt etwas Strom abfließt, müssen Sie dort ein Potential anlegen. Was ist, wenn das Potenzial für A und B unterschiedlich ist? Was bedeutet in diesem Fall Überlagerung?
@NorbertSchuch Angenommen, der Anfangszustand (mit $19I/20$ hinein gehen $A$ ) kann mit Potentialen erreicht werden $\phi$ , $\phi + \phi_2$ , $\phi + \phi_3$ , $\phi + \phi_4$ , ... angewendet auf die Knoten 1, 2, ... hier $\phi$ kann frei variiert werden. Dasselbe gilt für den zweiten Zustand ( $19I/20$ Verlassen der Schaltung aus $B$ ) wird mit einigen anderen Potentialen erreicht $\phi'$ , $\phi' + \phi_2'$ , ... Diese zu überlagern bedeutet, die entsprechenden Potentiale zu addieren. Dann $U = U_{AB} = \phi + \phi_B + \phi' + \phi_B' - \phi - \phi_A - \phi' - \phi_A' = \phi_B + \phi_B' - \phi_A - \phi_A'$ (unabhängig von $\phi$ Und $\phi'$ ).
@kristjan: Ich bin immer noch nicht überzeugt. Wie Sie Ihren hinzugefügten Kommentaren entnehmen können, lässt Ihr Beweis zu viel aus. Vielleicht kannst du das "sehen", ich kann es nicht. Zugegeben, das mag an meinen Einschränkungen liegen.

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