Symmetrie in Widerstandsschaltungen

Wir können den Widerstand zwischen den beiden von uns gewählten Punkten nicht entfernen, da sie nicht die gleiche Spannung haben.

OK, packen wir das ein wenig aus. Stellen Sie sich vor, Sie haben tatsächlich ein Widerstandsnetzwerk ( beliebiges Widerstandsnetzwerk) gebaut und möchten dessen Widerstand mit einem Ohmmeter messen . Dazu müssen Sie zwei der Punkte im Netzwerk auswählen und die Leitungen des Ohmmeters daran anschließen. Das Ohmmeter leitet dann einen kleinen Gleichstrom durch das Netzwerk und misst die Spannungsdifferenz$\Delta V$zwischen seinen Leitungen und dem Strom$I$die durch das Netzwerk zwischen ihnen fließen, und berechnen Sie den Widerstand$R$des Netzwerks nach dem Ohmschen Gesetz :

Da wir nun einen festen Gleichstrom in das Netzwerk einspeisen und da wir nur passive Widerstandskomponenten darin haben, wird sich das Netzwerk sehr schnell (im Wesentlichen sofort) in einen stabilen Zustand einpendeln, in dem jeder Knoten eine konstante Spannung hat und jeder Durch den Widerstand fließt ein konstanter Strom.

Insbesondere wird der Knoten, an den wir die negative Leitung des Ohmmeters angeschlossen haben, auf eine feste Spannung heruntergezogen$V^-$, während der Knoten, an den wir die positive Leitung angeschlossen haben, auf eine gewisse Spannung hochgezogen wird$V^+ > V^-$. Jeder andere Knoten$i$des Netzwerks wird auf einer Zwischenspannung liegen$V_i$zwischen$V^-$und$V^+$. Wenn Sie Ihre Analogie mit farbigen Kugeln verwenden, ist es so, als hätten wir zwei Kugeln ausgewählt, eine davon weiß und eine schwarz gefärbt, und die restlichen Kugeln mit unterschiedlichen Grauschattierungen gemäß ihrer Gleichgewichtsspannung gefärbt, wie sie durch das Ohmsche Gesetz und das Kirchhoffsche Gesetz bestimmt wird erstes Gesetz .

Tatsächlich können wir mechanisch nach dem Gleichgewichtsstrom lösen$I$durch das System, indem Sie einfach die Ausdrücke für den Stromfluss durch jeden Widerstand aufschreiben$ij$gegeben durch das Ohmsche Gesetz:

Wenn wir jedoch das System vereinfachen wollen, bevor wir es lösen, können wir zwei nützliche Beobachtungen anwenden:

• Erstens, wenn zwei Knoten die gleiche Spannung haben, kann zwischen ihnen kein Strom fließen:$V_i = V_j$ $\implies$ $I_{ij} = 0$. (Überprüfen Sie dies mit dem Ohmschen Gesetz oben!) Daher können wir alle Widerstände zwischen solchen Knoten vollständig ignorieren. Tatsächlich können wir solche Knoten sogar effektiv zu einem einzigen Knoten zusammenfassen (als ob sie durch einen Draht mit Nullwiderstand verbunden wären), solange wir daran denken, die Tatsache zu berücksichtigen, dass wir möglicherweise mehrere Widerstände parallel dazwischen haben zwei Knoten.

• Zweitens, wenn wir zwei Knoten haben$i$und$j$so dass$R_{ik} = R_{jk}$für alle Knoten$k$(wohin wir gehen$R_{ik} = \infty$wenn$i$und$k$sind nicht verbunden) und$I^0_i = I^0_j$, dann können wir die Bezeichnungen dieser beiden Knoten austauschen, ohne einen der Parameter des Systems zu ändern. Aus Symmetriegründen muss die Lösung also haben$V_i = V_j$, da sonst das Vertauschen der Labels die Lösung ändern würde, ohne die Parameter zu ändern (was ein Widerspruch ist, wenn das System wohldefiniert und damit eindeutig lösbar ist).

In Ihrem Beispielnetzwerk ist jeder Knoten durch identische Widerstände mit jedem anderen Knoten verbunden und so$R_{ik} = R_{jk}$für alle Knoten$i$,$j$,$k$. Für alle außer den beiden ausgewählten Endpunktknoten haben wir auch$I^0_i = I^0_j = 0$, und so können alle anderen Knoten außer den Endpunkten ausgetauscht werden, ohne das System zu ändern. Daher können wir alle Widerstände zwischen ihnen ignorieren und sie sogar alle zu einem einzigen Knoten zusammenfassen.

Der Grund, warum wir die beiden gewählten Endpunkte jedoch nicht austauschen können, ist, dass wir die Symmetrie gebrochen haben, als wir die Messleitungen daran angeschlossen haben: In diese Punkte fließt Strom von außerhalb des Netzwerks, wodurch sie auf unterschiedliche Spannungen gezogen werden. Insbesondere bewirkt die Spannungsdifferenz, dass ein Strom ungleich Null über jeden Widerstand fließt, der diese beiden Knoten verbindet, und daher können solche Widerstände nicht ignoriert werden, wenn der Gesamtstromfluss durch das System berechnet wird.

(Wenn es keinen extern zugeführten Strom gäbe, wären alle Knoten im Netzwerk tatsächlich symmetrisch, und wir könnten korrekt ableiten, dass kein Strom zwischen ihnen fließen würde. Aber dieses Szenario ist für die Berechnung des Widerstands völlig nutzlos, da wir es tun würden landen Sie einfach bei der unbestimmten Form$R = \Delta V/I = 0/0$.)

Gegeben$N \ge 2$Knoten vollständig miteinander verbunden$\frac{1}{2}N(N-1)$Widerstände des Widerstands$R$(d.h. je zwei Knoten mit einem Widerstand miteinander verbunden$R$) ist der Widerstand zwischen zwei beliebigen Knoten$\frac{2}{N}R$.

Dies folgt direkt aus der Zuweisung einer Spannung "$+1$" und "$-1$" zu den beiden betrachteten Knoten, was zu der führt$N-2$andere Knoten (alle direkt mit beiden betrachteten Knoten verbunden) erhalten eine Nullspannung. Da kein Strom durch Widerstände fließt, die Knoten auf demselben Potential verbinden, können alle Widerstände, die nicht direkt mit den zwei betrachteten Knoten verbunden sind, entfernt werden.

Mit anderen Worten: Die einzigen beitragenden Leitungspfade sind ein einzelner Widerstandssprung$R$und$N-2$"Doppelhüpfer" des Widerstands$2R$. Die gesamte parallele Konduktanz aller dieser Pfade kombiniert ist$\frac{1}{R} + \frac{N-2}{2R} \ = \frac{N}{2R}$. Der Kehrwert dieser Größe ist der effektive Widerstand zwischen den beiden Knoten.

Es gibt ein nettes Argument für diese Art von Fragen. Der Beweis folgt aus der Linearität des Systems. So funktioniert das:

1. Angenommen, ich gebe den Strom ein$I$von einem Knoten und extrahieren$\frac{I}{5}$von allen anderen Knoten. Wegen der Symmetrie weiß ich das genau$\frac{I}{5}$fließt durch die angrenzenden Drähte (Kanten).
2. Ich schaue jetzt auf einen anderen Knoten, nehme an, ich trete ein$\frac{I}{5}$Strom von allen anderen Knoten und extrahieren$I$von diesem. Wieder mit Symmetrie, das weiß ich genau$\frac{I}{5}$fließt durch Drähte, die mit diesem Knoten verbunden sind.
3. Betrachten Sie nun die Überlagerung dieser beiden Fälle. Ich spritze$\frac{6I}{5}$von einem Knoten und Extrahieren desselben vom anderen Knoten. Kein Strom wird aus anderen Knoten austreten oder eintreten. Wir wissen auch, dass der Strom, der durch den Draht fließt, der diese beiden Knoten verbindet, genau ist$\frac{2I}{5}$(folgt aus der Linearität).

Ergo unter Verwendung der Definition des äquivalenten Widerstands und der Potentialdifferenz zwischen diesen beiden Knoten haben wir:

Warum können wir also nicht derselben Logik folgen und den Widerstand zwischen den beiden ausgewählten Punkten entfernen?

OK, ich werde Ihre Frage teilweise direkt ansprechen . Warum können wir den Widerstand zwischen den beiden ausgewählten Punkten nicht entfernen?

Die Antwort ist eine elementare Anwendung des Ohmschen Gesetzes. Wählen Sie zwei beliebige Knoten. Es gibt einen Widerstand, der diese beiden Knoten direkt verbindet.

(1) Legen Sie eine Spannungsquelle über die beiden Knoten. An dem Widerstand zwischen den beiden Knoten liegt nun eine Spannung an und somit nach dem Ohmschen Gesetz ein Strom durch diesen Widerstand .

(2) Dieser Strom addiert sich zum Gesamtstrom durch die Spannungsquelle.

(3) Wenn Sie den Widerstand entfernen, ändern Sie den Strom durch die Spannungsquelle und damit den von der Spannungsquelle gesehenen Widerstand .

Fazit : Sie können den Widerstand zwischen den ausgewählten Knoten nicht entfernen, ohne den äquivalenten Widerstand zwischen diesen Knoten zu ändern.

Offensichtlich gibt es einen Fehler in der Logik, der Sie zu dem Schluss geführt hat, dass der Widerstand entfernt werden kann . Aber ehrlich gesagt, so wie die Logik geschrieben ist , ist es nicht klar, was die Logik ist oder wie sie Sie zu dieser Schlussfolgerung geführt hat.