Anzahl der Freiheitsgrade des gekoppelten Pendelproblems

In Kapitel 4 aus dem Buch Theoretical Mechanics of Particles and Continua von AL Fetter und JD Walecka wird das Problem eines gekoppelten Pendelsystems unter Berücksichtigung kleiner Schwingungen gelöst.

Dort sagen sie, dass die Anzahl der Freiheitsgrade, die zur Beschreibung der Lagrange-Funktion benötigt werden, die unendlich kleinen Verschiebungen aus dem Gleichgewicht sind η 1 Und η 2 , entsprechend jeder Pendelmasse.

Meine Frage ist: Warum werden zwei Freiheitsgrade benötigt ? Ist die Feder, die an beiden Massen befestigt ist, nicht eine Bewegungsbeschränkung, die die Freiheitsgrade auf nur einen reduziert ?

Tatsächlich schreiben sie explizit die folgende Gleichung:

D − D 0 = η 2 − η 1

das ist die Gleichung der Längenänderung der Feder.

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Wenn die Feder perfekt starr wäre, würde sie die Anzahl der Freiheitsgrade als Einschränkung reduzieren. Da dies nicht der Fall ist, benötigen Sie die Positionen beider Pendel, um die Dehnung der Feder zu berechnen.

D = l 2 ( cos ⁡ θ 1 − cos ⁡ θ 2 ) 2 + ( l Sünde ⁡ θ 1 − l Sünde ⁡ θ 2 + D 0 ) 2 ≈ l ( θ 1 − θ 2 ) + D 0 .

Da Sie also zwei Größen benötigen, um die Dehnung zu berechnen, gibt es zwei Freiheitsgrade. Sie können im Prinzip Variablen ändern, um einen der Winkel in Bezug auf die Dehnung und die andere Variable zu schreiben, aber das wird Ihnen wahrscheinlich nichts bringen.

Aber angesichts der Gleichung ( D − D 0 ) = θ 1 − θ 2 , Kann ich es nicht einfach umstellen θ 1 = ( D − D 0 ) + θ 2 also kann ich die Lagrange-Funktion nur in Bezug auf schreiben θ 2 ?
Nein, wenn du das machst D Und θ 2 werden Ihre beiden Variablen.
Sicher, dachte ich D − D 0 war eine Konstante, sondern weil D ist eine Funktion der Winkel, die man auch als verallgemeinerte Koordinate nehmen kann ... Jetzt ist es klar, denke ich, danke!

Naiverweise gibt es drei Freiheitsgrade: die Länge D der Feder und der Winkel θ 1 Und θ 2 . Wir haben auch die Einschränkung

D − D 0 = l ( θ 1 − θ 2 ) .
Sie können diese Einschränkung verwenden, um eine dieser Variablen zu eliminieren, wodurch zwei unabhängige Freiheitsgrade verbleiben.

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