Wie wird die kinetische Energie in einer Schwingung mit vier Massen und sechs Federn dargestellt?

Der Ursprung der Massenmatrix liegt in einem Koordinatenwechsel von kartesischen zu verallgemeinerten Koordinaten.

Die kinetische Energie eines Systems von$N$Teilchen in kartesischen Koordinaten ist

$$K=\frac 12\sum_{a=1}^Nm_a\dot{\vec r}_a\cdot\dot{\vec r}_a.$$ Wenn das System skleronomisch ist, dh die Beziehung zwischen kartesischen und verallgemeinerten Koordinaten die Zeit nicht explizit beinhaltet, $\vec r_i=\vec r_i(q_1,\ldots,q_n)$, dann nach der Kettenregel $$K=\frac 12\sum_{a=1}^Nm_a\sum_{i=1}^n\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_i}\dot q_i\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_j}\dot q_j.$$ Durch Umstellen von Termen kann dies geschrieben werden als $$K=\frac12\sum_{i,j}A_{ij}\dot q_i\dot q_j=\frac 12\dot q^TA\dot q,$$ Wo $A_{ij}\equiv \sum_am_a\frac{\partial \vec r_a}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial\vec r_a}{\partial q_j}$sind die Komponenten der Massenmatrix.

Manchmal ist es sicherer zu rechnen$A$unter Verwendung seiner Definition. Bei einfacheren Systemen ist es jedoch besser, die kinetische Energie explizit in den verallgemeinerten Koordinaten zu schreiben und dann mit der quadratischen Form zu vergleichen$\frac 12\dot q^TA\dot q$erhalten$A$.

Ein Ingenieur würde es die "Massenmatrix" nennen, nicht die "kinetische Energiematrix". Der KE wird durch gegeben$\frac 1 2 \mathbf{v}^T \mathbf{M} \mathbf{v}$Wo$\mathbf{v}$ist der Vektor der Geschwindigkeitskomponenten$\dot x_1, \dots, \dot x_4, \dot y_1, \dots, \dot y_4$Und$\mathbf{M} = M \mathbf{I}_8$- dh ein$8\times8$Diagonalmatrix mit allen diagonalen Termen gleich$M$.

"Kinetische Energiematrix" scheint meiner Meinung nach ein dummer Name zu sein, da er, wie Sie sagten, die kinetische Energie des Systems nicht vollständig darstellt.

Die „Steifigkeitsmatrix“ (oder wie auch immer die Mathematiker, die Ihr Buch geschrieben haben, sie nennen!) lässt sich in ähnlicher Weise als schreiben$8\times8$Matrix$\mathbf{K}$, obwohl es nicht so einfach ist wie die Massenmatrix. Die in den Federn gespeicherte potentielle Energie ist dann gegeben durch$\frac 1 2 \mathbf{x}^T \mathbf{K} \mathbf{x}$

Das Lesen eines Lehrbuchs oder einer Webseite über Matrixmethoden zur Modellierung von Systemen mit mehreren Freiheitsgraden (MDOF), die eher für Ingenieure oder Physiker als für Mathematiker geschrieben wurden, kann helfen, die Grundideen zu verstehen.