Kinetische Energie in der Lagragiaschen Mechanik [Duplikat]

Question

Kinetische Energie in der Lagragiaschen Mechanik [Duplikat]

drandran12

In meinem klassischen Mechanikunterricht fragten sie, warum die kinetische Energie für ein holonomes mechanisches System die homogene quadratische Form hat. Natürlich können Sie das für ein autonomes Standardsystem (System, das holonom ist und dessen Einschränkung keine virtuelle Arbeit leistet) einfach berechnen

T = \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{M} M_{ich} (v_{ich} \cdot v_{ich}) = \sum_{J = 1}^{N} \sum_{k = 1}^{N} A_{J k} (Q) {\dot{Q}}_{J} {\dot{Q}}_{k}

$T = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } m _ { i } \left( v _ { i } \cdot v _ { i } \right) = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { j k } ( q ) \dot { q } _ { j } \dot { q } _ { k }$ mit

A_{J k} (Q) = \frac{1}{2} \sum_{ich = 1}^{N} M_{ich} (\frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{J}} \cdot \frac{\partial R_{ich}}{\partial Q_{k}})

$a _ { j k } ( \boldsymbol { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } \left( \frac { \partial \boldsymbol { r } _ { i } } { \partial q _ { j } } \cdot \frac { \partial r _ { i } } { \partial q _ { k } } \right)$ Du kannst also schreiben

T = {\dot{Q}}^{T} \cdot A \cdot \dot{Q}

$T = \dot { q } ^ { T } \cdot A \cdot \dot { q }$ Aber was ist der physikalische Grund?

AccidentalFourierTransform

Mögliches Duplikat von Warum steigt die kinetische Energie quadratisch und nicht linear mit der Geschwindigkeit?

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Kinetische Energie in der Lagragiaschen Mechanik [Duplikat]

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QMechaniker · Answer 1

Das ist der kinetische Begriff $T(q,\dot{q},t)$ ist ein Polynom zweiter Ordnung in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten $\dot{q}$ kann angesehen werden als:

eine Folge von
- die holonomische Einschränkung , die die Positionen ${\bf r}_i(q,t)$ hängen nicht von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten ab $\dot{q}$ ,
- und dass die nicht-relativistische kinetische Energie ist $T=\sum_{i=1}^N\frac{m_i}{2}\dot{\bf r}_i^2$ ,
wie OP schon vorgeschlagen hat.
nur ein Ansatz oder eine Näherung, teilweise gerechtfertigt durch die Tatsache, dass der kinetische Term von unten begrenzt werden sollte. (Dieser Ansatz wird bekanntermaßen für relativistische Punktteilchen verletzt .)

Verweise:

H. Goldstein, Klassische Mechanik, Abschnitt 1.6.

Kinetische Energie in der Lagragiaschen Mechanik [Duplikat]

drandran12

AccidentalFourierTransform

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