Warum reichen Koordinaten und Geschwindigkeiten aus, um den Zustand und die Folgebewegung eines mechanischen Systems vollständig zu bestimmen?

Ich bin ein Physik-Student, geben Sie also Referenzen mit Ihren Antworten an.

Landau & Lifshitz schreiben auf Seite eins ihres Mechaniklehrbuchs:

Wenn alle Koordinaten und Geschwindigkeiten gleichzeitig angegeben werden, ist aus Erfahrung bekannt, dass der Zustand des Systems vollständig bestimmt ist und seine nachfolgende Bewegung im Prinzip berechnet werden kann. Mathematisch bedeutet dies, wenn alle Koordinaten Q Und Q ˙ gegeben sind zu einem bestimmten Zeitpunkt die Beschleunigungen Q ¨ zu diesem Zeitpunkt sind eindeutig definiert.

Sie begründen dies mit „aus Erfahrung bekannt“, was nicht ganz zufriedenstellend ist. Was ist die Grundlage für ihre Behauptung?

Ähnlich: Warum gibt es im Lagrange nur Ableitungen erster Ordnung?

Entspricht seine Frage meiner, obwohl er sich ausschließlich auf die Lagrange-Mechanik bezieht?

Darüber hinaus könnte dies nur darauf hinweisen, wie mathematisch grob mein Verstand ist, aber warum reicht es nicht aus, einfach die Koordinaten anzugeben Q , und bestimmen Q ˙ daraus, dh wenn Q durch eine glatte Funktion gegeben ist, können wir nicht alle weiteren Ableitungen daraus allein bestimmen?

Antworten (5)

Sie sollten sich das vorstellen, indem Sie die Newtonschen Gesetze in Zeitschritten ausführen - wenn Sie die Positionen und die Geschwindigkeit und einen Moment kennen, kennen Sie die Kraft, und die Kraft bestimmt die Beschleunigung. Damit lässt sich die Geschwindigkeit und eine infinitesimale Zeit in der Zukunft bestimmen

v ( T + D T ) = v ( T ) + D T F / M
X ( T + D T ) = X ( T ) + D T v

Sie finden dann die Position und Geschwindigkeit beim nächsten Zeitschritt, und Sie finden die neue Kraft und fahren für immer fort. Dies ist ein Algorithmus zur Lösung der Newtonschen Gesetze, und alles, was LL sagt, ist, dass die Newtonschen Gesetze aus der Erfahrung mit Objekten bekannt sind, sie werden aus Beobachtungen abgeleitet.

+1 gute Prämisse, achten Sie darauf, nicht zu implizieren, dass Beobachtungsergebnisse allein ausreichen.
Sie scheinen zu sagen, dass Sie die Kraft berechnen können, anstatt dass die Kraft für Sie angegeben wird.
@Argus: "Induktion" bedeutet experimentelle Ergebnisse plus alles, was es uns ermöglicht, Induktion durchzuführen.
@LarryHarson: Sie berechnen die Kraft aus dem Kraftgesetz und den Positionen und Geschwindigkeiten der Teilchen.
Das Gesetz der Kraft ist F = M D v D T und du bist gegeben F , während Sie rechnen D v aus F Und D T . Ihre zweite Gleichung sollte a haben v D T anstatt D T X
@LarryHarson: Nein, nein, nein. Sie erhalten F nicht als Funktion der Zeit, sondern F als Funktion der Position. Die Position ist unbekannt, bis Sie die Simulation durchführen. Um den Wert der Kraft zum Zeitpunkt t zu finden, müssen Sie ihn aus der Position zum Zeitpunkt t berechnen. Das Gesetz der Kraft ist nicht F=ma, es ist F=GMm/r^2 oder F= -a/r^6 + b/r^12 oder so ähnlich --- es ist ein Gesetz, das dir die Kraft sagt zwischen Teilchen als Funktion ihrer Positionen.

"aus Erfahrung bekannt" bedeutet hier "aus Erfahrung bekannt, dass Ableitungen erster Ordnung in der Lagrange-Funktion oder Ableitungen zweiter Ordnung in den Bewegungsgleichungen ausreichen". Ich denke, ihre Grundlage für diese Behauptung ist sehr okkamisch (aber wer könnte mit Sicherheit wissen, woran L & L dachten?) Der nicht-okkamische Ansatz für diese Antwort wird in dem Beitrag gegeben, den Sie in Ihrer Frage zitiert haben.

Für die letzte Frage können Sie ja bestimmen Q ˙ , Q ¨ , … , aus Q alleine , wenn du es schon weißt Q . Aber warte! fand nicht Q das Problem? und wie soll man das feststellen Q ? Lösen einer Gleichung zweiter Ordnung, für die Sie Anfangsbedingungen benötigen ( Q 0 , Q ˙ 0 ).

Entschuldigung, die zweite Frage scheint jetzt komisch offensichtlich zu sein, ich weiß nicht, wie ich es geschafft habe, verwirrt zu sein, ich habe es irgendwie geschafft, die Aussage "wenn alle Koordinaten Q Und Q ˙ werden irgendwann "als Aussage" gegeben, wenn die Koordinaten Q [Und Q ˙ ] sind bei allen Instanzen gegeben "

Bei einer gegebenen Differentialgleichung zweiter Ordnung wird die Lösung dafür eindeutig durch zwei Datensätze bestimmt.

Um etwas über ein System zu wissen, müssen wir alle Kräfte kennen, die zu einem bestimmten Zeitpunkt auf dieses System einwirken. Klassisch lösen wir immer die Newtonsche Bewegungsgleichung, dh Impulserhaltung. Auch hier ist der Impuls eine Funktion der Geschwindigkeit und die Geschwindigkeit eine Funktion der Koordinaten.

Wenn also die Geschwindigkeit und die Koordinaten bekannt sind, lösen wir die Newtonsche Bewegungsgleichung und können somit das System definieren. Es ist jedoch möglicherweise nicht einfach, alle Kräfte in einem allgemeinen System zu bestimmen. Daher werden verallgemeinerte Koordinaten und Geschwindigkeiten eingeführt. Mit verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten wird die Lösung der Bewegungsgleichung einfacher und effizienter.

Ich denke, das liegt daran, dass alle Kräfte, die wir experimentell beobachten, nur Funktionen von r und v sind, wie die Lorentzkraft oder die Gravitationskraft usw

Warum reichen Koordinaten und Geschwindigkeiten aus, um den Zustand und die Folgebewegung eines mechanischen Systems vollständig zu bestimmen?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v