Warum ist die gesamte kinetische Energie immer gleich der Summe der kinetischen Rotations- und Translationsenergien?

Meine Herleitung ist wie folgt.

  1. Die Gesamt-KE, T R für ein starres Objekt, das sich rein um eine Achse mit Winkelgeschwindigkeit dreht ω und mit dem ich Teilchen, das mit Geschwindigkeit rotiert v ( R Ö T ) ich = R ich × ω , (summiert über das i-te Teilchen) ist T R = 1 2 M ich | R ich × ω | 2 , solange der Ursprung durch die Rotationsachse geht.

  2. Lassen Sie uns diese unter Verwendung eines Koordinatensystems mit 3 beliebigen orthogonalen Einheitsvektoren zerlegen, deren Richtungen tiefgestellt sind (1,2,3), und die Klammern erweitern. Das Ergebnis kann gezeigt werden T R = 1 2 ICH ich J ω ich ω J summiert aus ich , J = 1 Zu 3 , und wo ICH ich J sind Elemente des Trägheitsmoment/-produkt-Tensors im gegebenen Koordinatensystem.

Dies scheint der Standardausdruck für kinetische Rotationsenergie zu sein. Die einzige Annahme war, dass das Objekt eine konstante Rotation hat und dass unser gewählter Ursprung auf der Rotationsachse liegt.

  1. Lassen Sie uns nun das Objekt mit einer Geschwindigkeit verstärken v Ö . Die Gesamtgeschwindigkeit ist jetzt v Ö + v ( R Ö T ) ich also ist die Gesamt-KE 1 2 M v Ö 2 + T R + M ich v Ö ⋅ ( R ich × ω )

Mir scheint, dass der dritte Term nicht trivial Null ist. Wenn ja, kann das jemand zeigen? Wenn nicht, warum addieren wir dann einfach Rotations- und Translationsenergien in der Mechanik?

Wo sind die Zusammenfassungen, von denen Sie sprechen?

Antworten (1)

Sie haben Recht, dass der dritte Begriff nicht allgemein verschwindet. Das Schlüsselelement bei der Zerlegung der kinetischen Energie in Rotations- und Translationsanteile ist, dass Sie die kinetische Rotationsenergie um den Massenschwerpunkt berechnen .

Wenn der Massenmittelpunkt des Objekts im Koordinatenursprung liegt, und R ich ist die Position der ich T H Masse, dann läuft alles so ab, wie Sie es vorschlagen. Die Geschwindigkeit der ich T H Masse ist v ich = R ich × ω , also die gesamte kinetische Energie

T = T R = ∑ ich 1 2 M ich ( R ich × ω ) 2

Wenn wir einen Boost durchführen, dann hätten wir das v ich = ( R ich − R ) × ω C M + v 0 , Wo ω C M ist die Winkelgeschwindigkeit um den Massenmittelpunkt und R ist die Position des Massenmittelpunkts. Dies würde uns geben

T = ∑ ich 1 2 M ich ( [ R ich − R ] × ω C M + v 0 ) 2
= ∑ ich { 1 2 M ich ( [ R ich − R ] × ω C M ) 2 + 1 2 M ich v 0 2 + M ich v 0 ⋅ [ R ich − R ] × ω C M }
Der erste Term ist die kinetische Rotationsenergie um den Massenschwerpunkt . Der zweite Term ist die kinetische Translationsenergie, die wie die gesamte Masse berechnet wird M konzentrierten sich auf die Position des Massenmittelpunkts. Der dritte Term verschwindet, denn wenn wir über Massen summieren,

∑ ich ( M ich R ich − M ich R ) = M R − M R = 0
.

Was ist mit dem KE eines Objekts in einer Situation, in der die Rotationsachse nicht unbedingt durch die com verläuft? Wir wissen, dass es für jeden starren Körper eine augenblickliche Rotationsachse geben muss, aber wir wissen nicht, dass diese durch den Massenmittelpunkt verläuft, da äußere Kräfte wirken können.
Nehmen Sie zum Beispiel ein Gyroskop, das als sich unter Schwerkraft drehender Kegel modelliert ist, dessen Spitze auf einem Tisch befestigt ist. Der Kern liegt auf der Achse des Kegels, aber die Rotationsachse bewegt sich weiter und die Spitze des Kegels ist daher ein geeigneter Ursprung, aber der Massenmittelpunkt geht aufgrund der Rotation um die vertikale z-Achse nicht durch die Rotationsachse.
@lucky-guess Ich bin mir nicht sicher, ob ich deine Frage verstehe. Wenn Sie die kinetische Rotationsenergie um eine Achse durch den Massenschwerpunkt nicht berechnen, zerlegt sich die gesamte kinetische Energie nicht sauber in einen Rotations- und einen Translationsanteil. Sie können es natürlich trotzdem tun.
Es ist nur so, dass der Rotationsteil möglicherweise nicht gut um den Massenmittelpunkt herum definiert ist, wie in dem Fall, den ich zuvor besprochen habe. Aber ich denke, dann ist der dritte Begriff leicht nachvollziehbar M v Ö ⋅ ( w × R C . Ö . M )
Es scheint eine leichte Vereinfachung in dieser Analyse zu geben @J.Murray. Sie geben die Geschwindigkeit des i-ten Teilchens an ( [ R ich − R ] × ω C M + v 0 ) . Das kann aber nicht stimmen, es sei denn, die Translationsgeschwindigkeit des i-ten Teilchens zeigte in die gleiche Richtung wie die Winkelgeschwindigkeit. Andernfalls ragt eine kleine Komponente aus dem heraus v 0 Begriff. Gibt es also eine Möglichkeit, dies rigoroser zu beweisen, indem man Vektoren richtig verwendet?
@ Dude156 Ich verstehe deinen Einwand nicht. ( [ R ich − R ] × ω C M + v 0 ) ist nicht parallel zu ω C M es sei denn, der erste Term verschwindet und v 0 Und ω C M weisen in die gleiche Richtung, was im Allgemeinen nicht zutrifft.
Aha! Ich sehe jetzt. Wie konnten Sie es also vermeiden, zuerst die Größe des Ausdrucks zu finden, bevor Sie sich direkt an die Quadrierung wagten?
@ Dude156 Quadrieren ist, wie man Magnituden findet. Ich habe die Tatsache ausgenutzt ( A + B ) 2 = ( A + B ) ⋅ ( A + B ) = A ⋅ A + B ⋅ B + 2 A ⋅ B
Cool, danke!
Warum ist die gesamte kinetische Energie immer gleich der Summe der kinetischen Rotations- und Translationsenergien?
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