Lagrange-Mechanik - kleine Oszillationen um die Gleichgewichtsdiagonalisierung

Die Antworten auf Ihre beiden Fragen laufen im Grunde darauf hinaus, "weil die kinetische Energie nur Null ist, wenn das System in Ruhe ist, und ansonsten positiv ist". Besonders die Antwort auf die zweite Frage gerät jedoch ziemlich tief in das linear-algebraische Unkraut, also schnallen Sie sich an.

1. Warum ist$M$umkehrbar?

Dies ist im Grunde eine Annahme über die Form, die die kinetische Energie annimmt. Grob gesagt wird es im Allgemeinen so sein, dass, wenn sich eine unserer Koordinaten ändert, mit dieser Änderung eine gewisse kinetische Energie verbunden ist. Wenn wir an die kinetische Energie denken$T(\dot{q}_i)$als Funktion der Geschwindigkeiten erwarten wir keine "flachen" Richtungen im Geschwindigkeitsraum; Wenn ja, würde dies bedeuten, dass wir das System so in Bewegung setzen könnten, dass mit dieser Bewegung keine kinetische Energie verbunden wäre.

Mathematisch wird diese Aussage durch die Idee erzwungen, dass$M$ist nicht entartet . Eine Matrix$M_{ij}$ist entartet, wenn es einen Nicht-Null-Vektor gibt$v_i$wofür$\sum_j M_{ij} v_j = 0$. Das bedeutet insbesondere, dass$M$einen nicht-trivialen Kern hat und somit nicht invertierbar ist. Wenn andererseits ein solcher Vektor existiert, dann$\sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j = 0$. Wenn wir daran denken$v_j$Als Darstellung eines Spaltenvektors von Geschwindigkeiten würde dies bedeuten, dass es im Geschwindigkeitsraum eine "flache Richtung" gibt, die wir nicht wollen: Es gibt eine Kombination von Geschwindigkeiten, die zu einer kinetischen Energie von Null führt (da$T \approx \frac{1}{2} \sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j$). Wenn es also keine "flachen" Richtungen im Geschwindigkeitsraum gibt, müssen wir eine nicht entartete Richtung haben$M$, was bedeutet, dass es invertierbar ist.

2. Warum ist$M^{-1}K$diagonalisierbar?

Während wir für den obigen Teil nur Nicht-Entartung brauchten$M$gehorcht normalerweise einer etwas stärkeren Bedingung als nicht entartet zu sein; sie ist normalerweise positiv definit , was in physikalische Begriffe übersetzt bedeutet, dass die kinetische Energie immer positiv ist, es sei denn, das System ist in Ruhe, in diesem Fall ist sie Null. Mathematisch übersetzt bedeutet dies die folgende Bedingung$M$: für alle Vektoren$v$,$\sum_{i,j} M_{ij} v_i v_j \geq 0$, mit Gleichheit nur wenn$v_i = 0$.

Seit$M$eine symmetrische Matrix ist, kann sie diagonalisiert werden; mit anderen Worten, es existiert eine orthogonale Matrix ($R^T = R^{-1}$) so dass

$$\tilde{M} = R M R^T$$ ist eine Diagonalmatrix, deren Einträge die Eigenwerte von sind $M$. Außerdem – und hier kommt die positive Eindeutigkeit ins Spiel – sind alle diese Einträge positiv. (Eine symmetrische positiv definite Matrix kann keinen nicht-positiven Eigenwert haben, da dies dies implizieren würde $M_{ij} w_i w_j \leq 0$für den entsprechenden Eigenvektor $w_i$.) Dies bedeutet, dass es eine weitere Diagonalmatrix gibt $S$was befriedigt $$S^2 = \tilde{M}^{-1}.$$ (Die Einträge von $S$sind nur $1/\sqrt{\mu_i}$, bei dem die $\mu_i$sind die diagonalen Einträge von $\tilde{M}$, auch bekannt als die Eigenwerte von $M$.) Insbesondere bedeutet dies, dass $$M^{-1} = R^T \tilde{M}^{-1} R = R^T S^2 R.$$

Also, in diesem Sinne: Nehmen wir an, wir wollen das Eigenwertproblem lösen

$$M^{-1} K \vec{v} = \lambda \vec{v}.$$ Definieren $\vec{v}'$so dass $\vec{v} = R^T S \vec{v}'$. Dann wird die obige Gleichung $$(R^T S^2 R) K R^T S \vec{v}' = \lambda R^T S \vec{v}'$$ Linksmultiplizieren beider Seiten mit dem Kehrwert von $R^T S$, wir bekommen $$S R K R^T S \vec{v}' = \lambda \vec{v}'.$$ Aber die Matrix auf der linken Seite ist symmetrisch: $(S R K R^T S)^T = S R K R^T S$. Mit anderen Worten, dies ist jetzt ein herkömmliches Eigenwertproblem, und es wird eines geben $n$Eigenvektoren und Eigenwerte, die eine Basis für den Vektorraum bilden.

Beachten Sie vor allem, dass die Eigenvektoren$\vec{v}$nicht orthogonal sein, wie man erwarten könnte. Dies liegt daran, dass wir die Basis über eine nicht-orthogonale Transformation geändert haben ($S$ist keine orthogonale Matrix), und Vektoren, die vor einer solchen Transformation orthogonal sind, müssen danach nicht unbedingt orthogonal sein. Die Eigenvektoren$\vec{v}'$sind durch die Eigenschaften reeller symmetrischer Matrizen garantiert orthogonal, aber die entsprechenden Vektoren$\vec{v} = R^T S \vec{v}'$wird nicht sein.