Ausdruck für potentielle Gesamtenergie in gekoppelten Systemen

Ich habe Anwendungen der Lagrange-Mechanik und den Fall gekoppelter Oszillatoren durchgelesen. Das bereitgestellte Beispiel ist die berühmte Zwei-Pendel-Länge l Masse M von der Decke hängend verbunden durch eine Feder mit Federkonstante k . Wir nennen ihre Winkel θ 1 Und θ 2 wie von der Vertikalen gemessen. Die gesamte kinetische Energie des Systems ist:

T = 1 2 M v 1 2 + 1 2 M v 2 2 = 1 2 M l 2 ( θ 1 ˙ 2 + θ 2 ˙ 2 )
In der Zwischenzeit kann die potentielle Energie gefunden werden zu:
U = M G l ( 1 − cos ⁡ θ 1 ) + M G l ( 1 − cos ⁡ θ 2 ) + 1 2 k ( l Sünde ⁡ θ 2 − l Sünde ⁡ θ 1 ) 2
Wo wir das aus der Tatsache bekommen, dass die horizontale Position jedes Bobs ist X ich = l Sünde ⁡ θ ich . Dann bekommen wir den Lagrange durch L = T − U und die Bewegungsgleichungen aus der Euler-Lagrange-Gleichung usw.

Meine Frage hängt davon ab, wie diese potenzielle Energie gefunden wird. Natürlich gibt es zwei Beiträge zur potentiellen Energie: die potentielle Energie der Gravitation und die potentielle Energie der Feder. Die gesamte potentielle Gravitationsenergie ist die Summe der potentiellen Gravitationsenergie jedes Bobs, wie wir in sehen U .

Allerdings erscheint mir die Federpotentialenergie seltsam. Wir wissen das 1 2 k X 2 gibt die potentielle Federenergie für ein Teilchen an, das mit einer um einen Abstand versetzten Feder verbunden ist X aus dem Gleichgewicht. Dies ist jedoch die Energie für jedes Teilchen, also (ich weiß nicht, ob diese Frage zu dumm ist, aber) warum ist die gesamte Federpotentialenergie gleich?

1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2
und nicht die Summe der beiden, was wäre
1 2 k ( X 2 − X 1 ) 2 + 1 2 k ( X 1 − X 2 ) 2 = k ( X 2 − X 1 ) 2
Natürlich ist der erste richtig, da er die korrekten EOMs liefert, aber kann jemand erklären, warum wir nur einen der potenziellen Energiebeiträge nehmen und nicht die beiden? Warum sollte der zweite "überzählen" sein?

Antworten (3)

Die potentielle Energie der "Feder" wird ausschließlich der Dehnung der Feder zugeschrieben (und ist der Feder eigen), unabhängig davon, ob die Feder auf beiden Seiten an Bobs oder an einer Wand und einem Bob auf einer Seite befestigt war. Da die Feder also eine Federkonstante k hat, ist ihre potenzielle Energie tatsächlich vorhanden 1 2 k ( X 1 − X 2 ) 2 wo die Dehnung der Feder ist X 1 − X 2 . Hoffentlich hilft das.

Wir wissen das 1 2 k X 2 gibt die Federpotentialenergie für ein Teilchen an, das mit einer Feder verbunden ist, die um eine Distanz 𝑥 aus dem Gleichgewicht verschoben ist.

Ich würde sagen, dies gibt die Energie für ein Federsystem, nicht das Teilchen speziell. Wir sagen, dass die Feder selbst die Energie in der Spannung oder Kompression ihres Materials hält. Die Energie ist unabhängig vom Teilchen am Ende gleich.

Im gekoppelten System befindet sich die Feder zwischen den beiden Pendeln, und wir gehen davon aus, dass Gleichgewicht vorliegt, wenn sie den gleichen Winkel haben. Wenn die Pendel so schwingen, dass sie sich entweder näher zusammen oder weiter auseinander bewegen, wird Energie in die Feder eingebracht. Wenn beide Pendel die gleiche Auslenkung von haben X , dann ist die Feder noch im Gleichgewicht. Die gesamte Federausdehnung oder -kompression ist also gleich der Differenz in der Bewegung der beiden Pendel.

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Die Verwirrung scheint zu entstehen, weil Sie denken, dass die potenzielle Energie eher mit einem "Teilchen" als mit einer Wechselwirkung verbunden ist , was sie tatsächlich ist. Die Wechselwirkung wird hier vollständig von der Feder bestimmt, und daher ist die potentielle Energie die mit der Feder verbundene Energie. Wie @Rohit betont, hängt die Energie der Feder in besonderer Weise von ihrer Dehnung ab, was zur richtigen Antwort führt.

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