Eigen- und Resonanzfrequenzen eines gedämpften Oszillators

Die Gleichung des gedämpften Oszillators lautet

M X ¨ + B X ˙ + k X = 0

Und seine Lösung hat Eigenfrequenz ω 0

ω 0 = k M − ( B 2 M ) 2

Allerdings, wenn man der Gleichung eine treibende Kraft hinzufügt

M X ¨ + B X ˙ + k X = D cos ⁡ ( Ω T + ϕ )

die Resonanzfrequenz Ω = ω R das maximiert Amplitude ist

ω R = k M − 2 ( B 2 M ) 2

Ich frage mich, warum die Resonanzfrequenz nicht die Eigenfrequenz ist. Ich habe diese Formeln auf der Wikipedia-Seite des harmonischen Oszillators gelesen.

Wahrscheinlich hast du etwas falsch berechnet. Die Antriebsfrequenz, die die Amplitude maximiert, ist die Eigenfrequenz.
Sie haben ein Problem mit der Notation, Ihr ω 0 ist eigentlich ω D , in der Literatur ω 0 = k M . Allerdings wird die maximale Amplitude tatsächlich bei einer Frequenz erreicht ω R , etwas weniger als ω 0 , das ist das Ergebnis von Berechnungen, ich weiß nicht, ob es dafür einen physikalischen Grund gibt. In den meisten Fällen von praktischem Interesse ist jedoch der Unterschied zwischen ω R Und ω 0 ist (wie Sie sehen) vernachlässigbar klein.
@Samà Ich glaube nicht. Die Eigenfrequenz dieses Oszillators ist OP's ω 0 . Es steht geschrieben, dass ... Sicher, er hat eine andere Notation als üblich verwendet, aber das spielt keine Rolle. Was er jedoch als Resonanzfrequenz bezeichnet, ist eindeutig falsch. Es sollte sein ω R = ω 0 , und nicht das, was er sagte.

Antworten (2)

Der Unterschied ist subtil - und spielt nur bei "etwas gedämpften" Systemen wirklich eine Rolle (wo ζ ist "nicht sehr klein" im Vergleich zu 1).

Der Schlüssel hier ist, dass die maximale AMPLITUDE nicht bei der gleichen Frequenz wie die maximale DISSIPATED LEISTUNG erreicht wird. Für Ersteres möchten Sie, dass die Frequenz etwas niedriger ist (weil Sie eine bestimmte Menge an Leistung pro Zyklus verbrauchen). Für letzteres muss die Antriebskraft genau quer zur Geschwindigkeit stehen. Dies führt jedoch zu einer höheren Verlustleistung und einer kleineren Amplitude (denken Sie auch daran, dass bei höheren Frequenzen die Geschwindigkeit zunimmt - und dass Sie daher bei gleicher Amplitude mehr Verlustleistung haben).

Das ist die intuitive Erklärung. Alternativ könnte man auch einfach sagen "so funktioniert die Mathematik" ...

Dennoch ist die Frequenz, bei der die kinetische Energie maximiert wird, die Eigenfrequenz des Oszillators ohne Dämpfung. Was sich ziemlich von der Frequenz unterscheidet, die das OP dort eingefügt hat.
Die Frage war nicht "kinetische Energie maximieren", sondern "Amplitude maximieren". Da die kinetische Energie sowohl von der Frequenz als auch von der Amplitude abhängt, sind diese beiden nicht gleich.
Dann stimmt etwas nicht. Die Frequenz, bei der die Amplitude maximiert wird, ist die Eigenfrequenz.... Oder nicht?
@ Physiker137 ist es nicht. Siehe meinen Kommentar zu OP.
Ah. Ich verstehe. Danke @Sama. Die Resonanzfrequenz zur Amplitudenmaximierung ist jedoch die Eigenfrequenz. Ich denke, diese Antwort wäre richtig, wenn sie den Unterschied der Resonanzfrequenz von der Eigenfrequenz ohne Dämpfung erklärt . Aber das ist nicht das, was der OP gefragt hat.

Siehe https://en.wikipedia.org/wiki/Resonance . Es zeigt, dass die Resonanz im gedämpften System von dem Punkt abweicht, an dem Forced w/Natural w = 1 ist. Tatsächlich tritt die Resonanz auf, wenn Forced w/Damped w = 1, wo z. B. für a Basis verlassenes System Gedämpft w = [1-Quadrat (Dämpfungsfaktor)] ^ 0,5 * Natürlich w

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