Problemaufbau

Angenommen, wir haben zwei Pendel mit der gleichen Länge$l$, und eine Zeichenfolge mit Zeichenfolgenkonstante$k$das sie verbindet, dann sind die Bewegungsgleichungen

$$\ddot{\theta_1} = - \frac{g}{l} \theta_1 - \frac{kl}{m}(\theta_1 - \theta_2) + F_1(t) \>,\\ \ddot{\theta_2} = - \frac{g}{l} \theta_2 + \frac{kl}{m}(\theta_1 - \theta_2) + F_2(t) \>,$$ Wo $\theta_1$Und $\theta_2$sind die Winkelverschiebungen von Pendel 1 bzw. 2. Wir haben auch angenommen, dass die Schwingung klein ist und dass die Feder ihre natürliche Länge hat, wenn beide Pendel vertikal sind, also die Federdehnung gerade ist $l(\theta_1 - \theta_2)$. Endlich, $F_1(t)$Und $F_2(t)$sind die Antriebskräfte, die auf jedes Pendel wirken. In der Frage haben Sie zwei Situationen vorgeschlagen, die beide haben $F_2 = 0$. Die erste Situation hat $F_1 = f_0 \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t-t_0)$, Wo $\operatorname{III}_T(t)$ist die Dirac-Kammfunktion der Periode $T$, und die zweite Situation hat $F_1 = f_0 \sin(\omega t+ \phi)$. Anschließend wollen wir herausfinden, wie das System auf Antriebskräfte mit unterschiedlichen Frequenzen reagiert $\omega$, was wann genau passiert $\omega = \omega_1, \omega_2, (\omega_2-\omega_1)/2$.

Um die Form des Modells ein wenig zu vereinfachen, werden wir es in normalen Koordinaten umschreiben. So wie es uns unsere Intuition sagt, sollten die normalen Modi dem entsprechen, wann die Pendel in Phase schwingen und wann sie phasenverschoben sind$\pi$. Daraus wissen wir, dass die normalen Koordinaten sind$q_1 = (\theta_1 + \theta_2)/2$Und$q_2 = (\theta_1 - \theta_2)/2$, entsprechend normalen Frequenzen$\omega_1^2 = g/l$Und$\omega_2^2 = g/l + 2 kl/m$. Somit können wir das System umschreiben als

$$\ddot{q_1} + \omega_1^2 q_1 = \frac{F_1 + F_2}{2} \>,\\ \ddot{q_2} + \omega_2^2 q_2 = \frac{F_1 - F_2}{2} \>.$$ Zunächst einmal können wir, wenn wir beide Antriebskräfte auf Null setzen, einfach die beiden entkoppelten harmonischen Oszillatorgleichungen lösen und erhalten: $$q_1(t) = C_1 \cos\omega_1 t + C_2\sin\omega_1 t \>,\\ q_2(t) = C_3 \cos\omega_2 t + C_4\sin\omega_2 t \>,$$ Wo $C_1, C_2, C_3, C_4$kann aus Anfangsbedingungen bestimmt werden. Wir nennen diese Lösungen $\bar{q}_1(t)$Und $\bar{q}_2(t)$später, um Notationen zu vereinfachen.

Sinusförmiges Fahren

Dieses System ist eigentlich nicht allzu schwer zu lösen, wenn die treibende Kraft eine Sinuswelle oder eine Delta-Funktion ist, aber warum sollten wir uns anstrengen, wenn Mathematica helfen kann? In der zweiten Situation (Sinusfahrt) vorausgesetzt$\omega\neq \omega_1$oder$\omega_2$, wir haben

$$q_1(t) = \bar{q}_1(t) - \frac{f_0}{2(\omega^2 - \omega_1^2)} \sin(\omega t+\phi) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) - \frac{f_0}{2(\omega^2 - \omega_2^2)} \sin(\omega t+\phi) \>,$$ Dies ist die freie Oszillatorlösung mit einer zusätzlichen Sinuswelle bei der Frequenz der treibenden Kraft, die jedem Modus hinzugefügt wird. Beachten Sie, dass alle diese Terme begrenzt sind, also ist auch die Amplitude begrenzt. Allerdings können wir das auch wann sehen $\omega\rightarrow \omega_1$oder $\omega_2$, der Begriff, der sich aus dem Antreiben von Schlägen bis ins Unendliche ergibt, was ein Markenzeichen für Resonanz ist. Lösen wir nun die Gleichung mit $F_1 = f_0 \sin(\omega_1 t+\phi)$, die Lösung zu $q_2$ändert sich nicht, aber $q_1$wird $$q_1(t) = \bar{q}_1(t) + \frac{f_0}{8\omega_1^2}\sin(\omega_1 t + \phi) - \frac{f_0}{4\omega_1} t \cos(\omega_1 t + \phi) \>.$$ Die sich aus dem Fahren ergebenden Begriffe änderten sich. Beachten Sie besonders, dass der letzte Term einen Faktor von enthält $t$, was bedeutet , dass die Amplitude der Schwingung unbegrenzt wächst . Der $\omega=\omega_2$Fall ist sehr ähnlich, wo die Lösung zu $q_2$ist eben das obige Ergebnis mit $\omega_1$ausgewechselt gegen $\omega_2$. Was passiert nun wann $\omega=(\omega_2 - \omega_1)/2$? Nun, es ist genau das Gleiche wie im obigen Off-Resonanz-Fall, mit $\omega$Ersetzt durch $(\omega_2-\omega_1)/2$. Da bei diesem Wert keine Singularität auftritt, würde dies keine numerischen Schwierigkeiten verursachen. Die kurze Antwort auf Ihre Frage im Titel lautet also: Nein.

Delta-Funktion und Dirac-Kammantrieb

Weiter zum Fall der Delta-Funktion. Bevor wir in den ziemlich komplizierten Fall des Dirac-Kamms weitergehen, wollen wir uns zuerst das Ergebnis der Delta-Funktion pulse at ansehen$t_0$,$F_1 = f_0 \delta(t-t0)$. Die Ergebnisse sind

$$\begin{gather} q_1(t) = \bar{q}_1(t) + \frac{f_0}{2\omega_1} H(t-t_0) \sin \omega_1(t-t_0) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) + \frac{f_0}{2\omega_2} H(t-t_0) \sin \omega_2(t-t_0) \>, \end{gather}$$ Wo $H(t)$ist die Heaviside-Schrittfunktion . Tatsächlich injiziert ein Delta-Impuls zum Zeitpunkt seiner Anwendung etwas Energie in das System und ändert die Amplitude ein wenig, führt jedoch keine neuen Frequenzen ein.

Für die volle Dirac-Kammfunktion haben wir,

$$\begin{gather} \begin{split} q_1(t) & = \bar{q}_1(t) - \cos \omega_1 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_1} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\sin\omega_1 t' d t' \\ & \quad + \sin \omega_1 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_1} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\cos\omega_1 t' d t' \>, \end{split} \\ \begin{split} q_2(t) & = \bar{q}_2(t) - \cos \omega_2 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_2} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\sin\omega_2 t' d t' \\ & \quad + \sin \omega_2 t\int_1^t \frac{f_0}{2\omega_2} \operatorname{III}_{2\pi/\omega}(t'-t_0)\cos\omega_2 t' d t' \>. \end{split} \end{gather}$$ Das sieht ein bisschen entmutigend aus, aber denken Sie daran, dass der Dirac-Kamm nur die Summe einer Reihe von Delta-Funktionen ist, sodass der Integrand hier nur an diskreten Punkten, dh wann, Werte ungleich Null annimmt $t' = t_0 + \frac{2\pi}{\omega} k$. Wir müssen im Wesentlichen nur zählen, wie viele dieser Punkte dazwischen liegen $1$Und $t$. Damit haben wir das Ergebnis $$\begin{gather} q_1(t) = \bar{q}_1(t) +\frac{f_0}{2\omega_1} \sum_{k\in \mathcal K(t)} H\left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \sin \omega_1 \left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \>,\\ q_2(t) = \bar{q}_2(t) +\frac{f_0}{2\omega_2} \sum_{k\in \mathcal K(t)} H\left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \sin \omega_2 \left(t-\left(t_0 + \frac{2\pi k}{\omega}\right)\right) \>, \end{gather}$$ Wo $\mathcal K(t)$ist die Menge von Werten für $k$so dass $t_0 + \frac{2\pi}{\omega} k$liegt zwischen $1$Und $t$.

Lassen Sie uns diese Lösung interpretieren. Formal sieht das genauso aus wie das Aufsummieren der Extraterme aus den Delta-Puls-Lösungen mit$t_0$unterschiedliche Werte annehmen. Das bedeutet jedes Mal$2\pi/\omega$Zeiteinheiten vergehen, trifft der Delta-Impuls und fügt der ursprünglichen Schwingung eine Sinuswelle hinzu, immer mit der normalen Frequenz$\omega_i$, und immer mit der gleichen Amplitude$f/2\omega_i$($i = 1, 2$).

Wichtig ist, zu erkennen, dass jede dieser hinzugefügten Schwingungen eine Phasenverschiebung hat$2\pi\frac{\omega_i}{\omega}$vom vorherigen. Wenn$\omega_i/\omega$keine ganze oder rationale Zahl ist, bewirkt die Phasenverschiebung bei ausreichender Zeit, dass sich die hinzugefügte Oszillation gegenseitig mittelt. Wenn$\omega_i/\omega$eine ganze oder rationale Zahl ist, geht die Phasenverschiebung nach einer bestimmten Anzahl von Zyklen auf einen Wert zurück, den sie vorher angenommen hat. ( Korrektur: Selbst wenn es sich um eine rationale Zahl handelt, addieren sich die phasenverschobenen Wellen immer noch zu Null, damit es Resonanz gibt,$\omega$muss ein ganzzahliges Vielfaches von sein$\omega_i$, was das Argument im Fragetext bestätigt. ) Dies bedeutet, dass die hinzugefügte Schwingung einen Nettoeffekt auf das System hat und schließlich die Energie des Systems erhöht. (Dies sollte uns daran erinnern, jemanden auf einer Schaukel zu schieben. Wenn Sie mit einer Frequenz drücken, die nicht der Eigenfrequenz der Schaukel entspricht, wird es nicht funktionieren.) Der Effekt ist am stärksten, wenn das Verhältnis stimmt$\omega_i/\omega$Ist$1$, weil in diesem Fall jede Periode gleichzeitig der Delta-Impuls einsetzt und der zusammengesetzte Effekt am größten ist.

Dies entspricht mehr oder weniger der Resonanz, die wir im sinusförmigen Antriebsfall sehen. Wir haben immer noch starke Resonanz bei$\omega_1$oder$\omega_2$, sondern auch bei vielen weiteren anderen Frequenzen. Wenn wir die Antriebsfrequenz auf einstellen$(\omega_2 - \omega_1)/2$, dann Frequenzverhältnis$2\omega_i/(\omega_1 - \omega_2)$ist nur dann eine rationale Zahl$\omega_1$Und$\omega_2$rationale Vielfache voneinander sind. Daher kann der Dirac-Kammantrieb im Gegensatz zum sinusförmigen Fall das System bei der Frequenzdifferenz anregen, vorausgesetzt, dass das Verhältnis zwischen den Eigenfrequenzen des Systems rational ist.

Resonanz

Lassen Sie uns nach all dieser Berechnung das Konzept der Resonanz noch einmal Revue passieren lassen. Laut Wikipedia ,

In der Physik ist Resonanz ein Phänomen, bei dem ein schwingendes System oder eine äußere Kraft ein anderes System antreibt, mit größerer Amplitude bei einer bestimmten Vorzugsfrequenz zu schwingen. Frequenzen, bei denen die Antwortamplitude ein relatives Maximum ist, sind als Resonanzfrequenzen oder Resonanzfrequenzen des Systems bekannt. Bei Resonanzfrequenzen haben kleine periodische Antriebskräfte die Fähigkeit, Oszillationen mit großer Amplitude zu erzeugen.

In einem typischen angetriebenen gedämpften Oszillator entspricht die Resonanzfrequenz der obigen Definition als die Frequenz der Antriebskraft, die die maximale Amplitude erzeugt, aber diese Definition trifft nicht ganz auf ungedämpfte Oszillatoren zu. Für einen gedämpften Oszillator ist der Amplitudengang

$$\alpha(\omega) \sim \left(\frac{\omega_0^2}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2\omega^2}\right)^{1/2} \>.$$ Hier $\omega_0$ist die Eigenfrequenz des Systems, $\omega$ist die Antriebsfrequenz, $\gamma$ist der Dämpfungsfaktor. Dieser Ausdruck erreicht das Maximum bei $\omega = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2/2}$. Würden wir direkt einstellen $\gamma$auf Null, jedoch sehen wir, dass der Amplitudengang bis ins Unendliche aufbläst $\omega_0$, und tatsächlich haben wir dies auch im gekoppelten System beobachtet. Was passiert dann? Nun, da es keine Dämpfung gibt, dissipiert das System keine Energie, so dass die Amplitude bei der Resonanzfrequenz einfach weiter wächst. Dies wird durch die obige Berechnung bestätigt.

Ihr Versuch, Resonanz durch Hinzufügen von Wellen verschiedener Frequenzen zu veranschaulichen, ist nicht sinnvoll. Eine treibende Kraft diktiert nicht direkt, wie ein Oszillator schwingt. Wir können die Wellenform der resultierenden Schwingung nicht einfach durch Addition der Wellenform der treibenden Kraft und der freien Schwingung bestimmen. Wir müssen die Bewegungsgleichung lösen, um die resultierende Wellenform zu erhalten.

Neben 1: Funktionen von Green

Wenn wir an der Reaktion eines Systems auf eine äußere Kraft interessiert sind, würden wir normalerweise die Funktion von Green aufrufen . In der Tat, ziemlich vereinfacht gesagt, wird die Greensche Funktion gefunden, indem die Reaktion des Systems berechnet wird, wenn es von einem Delta-Funktionsimpuls angesteuert wird, also sind wir ihr hier tatsächlich begegnet. Es ist etwas schwieriger, die Greensche Funktion für ein gekoppeltes System zu berechnen, da die Differentialgleichung 4. Ordnung wird, also bin ich diesem Ansatz nicht gefolgt. (In Wahrheit könnte Mathematica die Gleichungen immer noch so lösen.)

Nebensache 2: Quantenmechanik

Die Art und Weise, wie Sie die Frage im Titel formuliert haben, erfordert sofort den Vergleich mit einem zweistufigen Quantensystem. Ein gut untersuchtes Problem der Quantenmechanik ist, was passiert, wenn ein Zwei-Niveau-System durch ein zeitlich periodisches Potential gestört wird. Außerdem wollen wir wissen, wie sich das System verhält, wenn die Antriebsfrequenz nahe der Differenz der Energie der beiden Niveaus liegt. Vergleiche deine Frage nach einer treibenden Kraft an$\omega_1-\omega_2$auf das quantenmechanische Problem könnte interessant sein, aber ich werde es hier nicht versuchen, da es Thema für eine andere Frage sein sollte.