Gesamtenergie eines unterdämpften harmonischen Oszillators

Ich versuche, die Gesamtenergie eines unterdämpften harmonischen Oszillators zu finden, wo$\gamma << \omega_0$, dessen Verschiebung als Funktion der Zeit ist:

$$y(t)=y_0e^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos{(\omega_0 t+\alpha)}.$$

Die Gesamtenergie ist also die Summe aus Kinetik und Potential,$\text{E}=\frac{1}{2}m\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 +\frac{1}{2}ky^2$

Dies ergibt Folgendes:

$$\text{E}=\frac{1}{2}my_0^2e^{-\gamma t}\left[\frac{\gamma^2}{4}\cos^2(\omega_0 t+\alpha)+\gamma\omega_0\cos(\omega_0 t+\alpha)\sin(\omega_0 t+\alpha)+\omega_0^2\sin^2(\omega_0 t+\alpha)\right] + \frac{1}{2}ky_0^2e^{-\gamma t}\cos^2(\omega_0 t+\alpha).$$

Die Antwort, die ich zu bekommen versuche, ist$\text{E}=\frac{1}{2}ky_0^2e^{-\gamma t}$, was nur die Summe der letzten beiden Terme ist, unter Verwendung der Tatsache, dass$\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Ich habe mich nur gefragt, was mit den ersten beiden Begriffen passiert? Sie heben sich nicht gegenseitig auf (soweit mir bekannt ist), und obwohl ich sie verwenden kann$\gamma <<\omega_0$um den ersten Term loszuwerden, kann ich nicht für den zweiten (glaube ich nicht).