Harmonischer Oszillator, der von einer Dirac-Delta-ähnlichen Kraft angetrieben wird

Bedenken Sie, dass es der Einfachheit halber keine Dämpfung gibt.

Wie wir wissen, eine treibende Kraft der Form Sünde ⁡ ( ω T ) wird den Oszillator im stationären Zustand mit der externen Frequenz vibrieren lassen ω .

Was ist mit einer Kraft der Form δ ( T − T ' ) aber zeitlich gleichmäßig verteilt? es heißt Dirac-Kamm oder Impulszug.

Behält es die Eigenfrequenz bei oder schwingt es mit einer Frequenz? 1 / T Wo T ist der Zeitraum zwischen den Impulsen?

Höchstwahrscheinlich erhalten Sie eine vollständige harmonische Obertonreihe ( k ∗ ω ) . Es kann stark vom physikalischen System abhängen – sprechen Sie mit Musikern darüber, da das Zupfen einer Saite einer Delta-Funktion nahe kommt.
Ich bin mir ziemlich sicher, dass dies genau lösbar sein sollte (verwenden Sie Greens Funktionen!), Recht?
Oh Danke! Ich glaube, ich habe mir selbst geantwortet, wenn ich an das Zupfen einer Gitarre denke, denke ich, dass die Eigenfrequenz vorherrscht, da Sie den gleichen Ton hören, selbst wenn Sie die Saite mit einer gewissen Geschwindigkeit zupfen. Ich habe das DE auch mit Fourier-Transformationen gelöst und so etwas wie sum (1 / w) sin (w (tn)) erhalten, also ist es eher wie eine Unendlichkeit von Wellen bei der Eigenfrequenz, nur mit einer anderen Phase.
@ user41430 Wenn Sie Ihre Frage zu Ihrer Zufriedenheit beantwortet haben, sollten Sie die Antwort posten.

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Nun, ich ziehe es endlich heraus.

Ich habe die Funktionen von Green verwendet und es war ziemlich einfach,

Für einen harmonischen Oszillator müssen Sie lösen:

( D 2 D T 2 + 2 B D D T + ω 2 ) G ( T − T ' ) = δ ( T − T ' )

Die Lösung ist für T > T ' :

G ( T − T ' ) = e X P ( − B ( T − T ' ) ) Sünde ⁡ ( ω ' ( T − T ' ) ) ω '

Wo ω ' = ω 2 − B 2

Die Lösung ist:

j ( T ) = ∫ F ( T ' ) e X P ( − B ( T − T ' ) ) Sünde ⁡ ( ω ' ( T − T ' ) ) ω ' D T '

Verwenden F ( T ) = ∑ δ ( T − N T ) Das Integral wird super einfach und Sie können die Summe und das Integral vertauschen, da die Summe nicht von t' abhängt:

Endlich:

j ( T ) = ∑ e X P ( − B ( T − N T ) ) Sünde ⁡ ( ω ' ( T − N T ) ) ω '

Was wir also haben, sind so viele Sinusfunktionen wie Delta-Diracs, die der Kamm hat, und die mit der Eigenfrequenz schwingen (genau wie eine Gitarre), unabhängig davon, ob Sie sie mit einer bestimmten Frequenz zupfen.

Die Größe der Übertragungsfunktion (Schwingungsbetrag vs. Anregungsbetrag) eines harmonischen Oszillators mit Dämpfung ist unten dargestellt (aus diesem Wikipedia-Artikel ). Die Dirac-Delta-Funktion ist im Frequenzbereich weiß; was bedeutet, dass es bei allen Frequenzen die gleiche Erregung hat. Die Bewegung des harmonischen Oszillators ist also einfach das weiße Rauschen multipliziert mit der Übertragungsfunktion. Die Antwort wird, wie Sie vermutet haben, von der Resonanzfrequenz des Oszillators dominiert.

Durch das Dämpfen wird die Bewegung mit der Zeit abklingen, wenn Sie sie also mit einer Impulsfolge treffen, werden Obertöne mit der Frequenz der Impulse und ihrer Obertöne erzeugt. Die Stärke der Obertöne hängt von der Stärke der Dämpfung und der Stärke der Impulse ab.

Harmonischer Oszillator TF

Wenn es sich um einen Dirac-Kamm handelt, dh ∑ N δ ( T − N T ) , dann wird das Spektrum sicherlich nicht weiß sein.
Harmonischer Oszillator, der von einer Dirac-Delta-ähnlichen Kraft angetrieben wird
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