Ich versuche, die folgende Hauptgleichung zu lösen (auch ähnlich dem gedämpften harmonischen Quantenoszillator):
Dρ^DT=Γ2( 2A^ρ^A^†−A^†A^ρ^−ρ^A^†A^)
mit kohärentem Anfangszustand:
ρ^( 0 ) = | α ⟩ ⟨ α |
. Meine Idee war, die Sudarshan-Funktion und die Gilmore D-Algebra zu verwenden, um eine Differentialgleichung zu schreiben. Der erste Schritt besteht darin, den Dichtematrixoperator in kohärente Zustandsbasis zu zerlegen:
ρ^( t ) = ∫D2β P( β, t ) | β⟩ ⟨ β|
und handle mit Operatoren, die in der Anfangsgleichung erscheinen:
A^ρ^A^†= ∫D2β | β|2P( β, t ) | β⟩ ⟨ β|
A^†A^ρ^= ∫D2β P( β, t ) β(β∗+∂∂β) | β⟩ ⟨ β| =∫D2β | β⟩ ⟨ β| (β∗−∂∂β) βP( β, t )
ρ^A^†A^= ∫D2β P( β, t )β∗( β+∂∂β∗) | β⟩ ⟨ β| =∫D2β | β⟩ ⟨ β| ( β−∂∂β∗)β∗P( β, t )
Schließlich erhalten wir:
∂P( β, t )∂T=Γ2( β∂∂β+β∗∂∂β∗+ 2 ) S( β, t )
Ich bin mir ziemlich sicher, dass die Ableitung korrekt ist, da die Differentialgleichung die Einheitsspur beibehält, dh
DDTTr {ρ^( t ) } = ∫D2β ∂P( β, t )∂T=Γ2∫D2β (∂∂ββP( β, t ) +∂∂β∗β∗P( β, t ) ) = 0
Meine Idee war nun, die Potenzierung zu verwenden und die fast endgültige Lösung wie folgt zu schreiben:
P( β, t ) = exp[ tΓ2( β∂∂β+β∗∂∂β∗+ 2 ) ]δ( 2 )( α − β)
und dann von der Definition der Delta-Funktion
δ( 2 )( α − β) =1π2∫D2η e− ichη∗(a∗−β∗)e− ich η( α − β)
ich kann schreiben
P( β, t ) =et _1π2∫D2η e− ichη∗a2eTΓ2β∗∂β∗eichη∗β∗×e− ich ηaeTΓ2β∂βeich ηβ=et _δ2( α − βet Γ / 2)
Den letzten Schritt finden Sie
hier . Am Ende bekomme ich
ρ ( t ) =et _| ae− t Γ / 2⟩ ⟨ ae− t Γ / 2|
Das Problem ist, dass die Spur nicht erhalten bleibt, wenn sie ins Unendliche wächst. Irgendeine Idee, wo ich einen Fehler gemacht habe?