Können wir die periodische/aperiodische Natur der Bewegung aus der Bewegungsgleichung erraten?

Question

Können wir die periodische/aperiodische Natur der Bewegung aus der Bewegungsgleichung erraten?

Erstarrung

Die Bewegungsgleichung eines Pendels mit einem Massekörper $m$ , und hängend mittels eines masselosen Längenfadens $T$ wird von gegeben

\ddot{θ} + \frac{G}{l} Sünde θ = 0,

$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0,$ und die eines gedämpften eindimensionalen Oszillators, der sich entlangbewegt

x

$x$ -Achse ist

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$ Wo

γ

$\gamma$ ist die Reibungskonstante

Gibt es eine Möglichkeit zu erraten, dass die erste Gleichung eine periodische Bewegung mit konstanter Zeitdauer darstellt, während die zweite dies nicht tut, ohne die Gleichungen zu lösen?

Sammy Rennmaus

-1. Sie können (und haben) aus dem physikalischen Prozess erraten, dass die Bewegung periodisch war oder nicht. Wahrscheinlich auf die gleiche Weise wie Chris es getan hat, indem er Energieerhaltung verwendet hat. Das Vorhandensein von Reibung war ein bisschen ein Werbegeschenk. Die Gleichungen waren nicht notwendig. Die Frage, ob es für eine bestimmte ODE periodische Lösungen gibt, ist Mathematik, nicht Physik. zB math.stackexchange.com/questions/266158

Antworten (3)

Können wir die periodische/aperiodische Natur der Bewegung aus der Bewegungsgleichung erraten?

-1. Sie können (und haben) aus dem physikalischen Prozess erraten, dass die Bewegung periodisch war oder nicht. Wahrscheinlich auf die gleiche Weise wie Chris es getan hat, indem er Energieerhaltung verwendet hat. Das Vorhandensein von Reibung war ein bisschen ein Werbegeschenk. Die Gleichungen waren nicht notwendig. Die Frage, ob es für eine bestimmte ODE periodische Lösungen gibt, ist Mathematik, nicht Physik. zB math.stackexchange.com/questions/266158

Chris · Answer 1

Eine gute Möglichkeit, diese Art von Problemen zu betrachten, besteht darin, über Erhaltungsgrößen zu sprechen. Mit etwas Manipulation lässt sich beispielsweise leicht zeigen, dass in der ersten Formel so etwas wie Energie erhalten bleibt:

\ddot{θ} + \frac{G}{l} Sünde θ = 0 = \ddot{θ} \dot{θ} + \frac{G}{l} \dot{θ} Sünde θ = \frac{D}{D T} (\frac{{\dot{θ}}^{2}}{2} - \frac{G}{l} \cos θ)

$\ddot{\theta}+\frac{g}{l}\sin\theta=0=\ddot{\theta}\dot{\theta}+\frac{g}{l}\dot{\theta}\sin\theta=\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{l}\cos\theta\right)$

Und damit die Menge $\frac{\dot{\theta}^2}{2}-\frac{g}{l}\cos\theta$ wird konserviert. Da die Winkelgeschwindigkeit nur eine Funktion der Position ist, bleiben uns drei Möglichkeiten:

Die Bewegung ist unbegrenzt: geht ins Unendliche. Dies ist hier nicht möglich, weil $\theta$ ist periodisch: Wenn das Pendel umschlägt, sind wir wieder da, wo wir angefangen haben, und dies ist immer noch eine periodische Bewegung.
Die Bewegung kommt zum Stillstand. Dies ist hier nicht der Fall, weil $\ddot{\theta}$ Und $\dot{\theta}$ nicht die gleichen Nullen haben, außer in den Fällen, in denen es beginnt $\theta=0$ ohne Geschwindigkeit oder hat genau die richtige Geschwindigkeit, um anzuhalten $\theta=\pi$ .
Die Bewegung ist periodisch.

Abgesehen von den Sonderfällen, in denen es zum Stillstand kommt, beschreibt dies also eine periodische Bewegung.

Andererseits haben wir:

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$

Zunächst einmal ist klar, dass bei unserer Lösung die Geschwindigkeit nicht nur positionsabhängig sein wird, da die Beschleunigung geschwindigkeitsabhängig ist. Um dies zu untersuchen, ist es hilfreich, eine ähnliche Größe wie die Erhaltungsgröße aus dem letzten Teil zu betrachten:

\ddot{X} + γ \dot{X} + ω^{2} X = 0

$\ddot{x}+\gamma\dot{x}+\omega^2x=0$

\ddot{X} \dot{X} + ω^{2} X \dot{X} = - γ {\dot{X}}^{2}

$\ddot{x}\dot{x}+\omega^2x\dot{x}=-\gamma\dot{x}^2$

\frac{D}{D T} (\frac{{\dot{X}}^{2}}{2} + \frac{ω^{2} X^{2}}{2}) = - γ {\dot{X}}^{2}

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\dot{x}^2}{2}+\frac{\omega^2x^2}{2}\right)=-\gamma\dot{x}^2$

Beachten Sie, dass, wenn $\gamma>0$ , der Term auf der rechten Seite ist immer negativ, und daher nimmt die "Energie" des Systems immer ab!

Wenn jetzt $\gamma$ klein ist, können wir uns vorstellen, dass wir aus den gleichen Gründen wie zuvor hauptsächlich periodische Bewegung erhalten (beachten Sie, dass der Teil der "potenziellen Energie" unbegrenzt ist, also nicht ins Unendliche gehen kann), aber die Energie fließt aus dem System ab vorbei Zeit (ggf $\gamma>0$ , sonst wird Energie in das System gepumpt), so dass die Amplitude jeder aufeinanderfolgenden Schwingung kleiner ist. Wenn $\gamma$ groß ist, haben wir anfangs nicht einmal eine periodische Bewegung – die Energie wird schnell zerstreut.

Am Ende Ihrer ersten Gleichung sollte die Ableitung von Theta quadriert werden.
@eranreches Recht hast du! Korrekturlesen ist nicht meine Stärke...
Oh, und jetzt sehe ich, dass dir in deiner letzten Gleichung auch 1/2 und eine Potenz von 2 fehlen. Abgesehen von dieser netten Antwort!
Ich bin mir ziemlich sicher, dass ein Doppelpendel auch Erhaltungsgrößen (Energie) hat, aber seine Bewegung ist sicherlich aperiodisch?
@LLlAMnYP Die Periodizität beruht auf der Tatsache, dass die Bewegung eindimensional ist. Ein Doppelpendel hat zwei unterschiedliche Geschwindigkeiten, die unabhängig voneinander variieren können – selbst wenn es an genau denselben Punkt zurückkehrt, reicht die einzige Erhaltungsgröße nicht aus, um beide Geschwindigkeiten zu beschränken.
Richtig, das macht mehr Sinn. Vielleicht wäre es gut, Ihre Erklärung in die Antwort aufzunehmen. +1

ZeroTheHero · Answer 2

Ich würde es tun, indem ich anmerke, dass das erste System konservativ ist, während das zweite es nicht ist.

Also für das Pendel

E = T + v = \frac{1}{2} M ℓ^{2} {\dot{θ}}^{2} + M G ℓ (1 - \cos θ) .

$E=T+V=\frac{1}{2}m\ell^2\dot{\theta}^2+mg\ell(1-\cos\theta)\, .$ Erkennen der

E

$E$ konstant ist und somit an den Wendepunkten der (begrenzten) Bewegung ausgewertet werden kann

(\dot{θ}, θ) = (0, \pm θ_{0})

$(\dot\theta,\theta)=(0,\pm \theta_0)$ , wir haben

E = m g ℓ (1 - \cos θ_{0})

$E=mg\ell(1-\cos\theta_0)$ . Also neu organisieren und das im Auge behalten

\dot{θ} = d θ / d t

$\dot\theta=d\theta/dt$ , wir erreichen

\begin{aligned} D T & = \pm \frac{D θ}{\sqrt{\frac{2}{M ℓ^{2}} M G ℓ (\cos θ - \cos θ_{0})}}, \\ T & = 4 \sqrt{\frac{ℓ}{2 G}} \int_{0}^{θ_{0}} \frac{D θ}{\sqrt{\cos θ - \cos θ_{0}}} = \sqrt{\frac{ℓ}{G}} F (θ_{0}) . \end{aligned}

$\begin{align} dt&=\pm \frac{d\theta} {\sqrt{\frac{2}{m\ell^2}mg\ell(\cos\theta-\cos\theta_0)}}\, ,\\ T&=4\sqrt{\frac{\ell}{2g}}\int_0^{\theta_0} \frac{d\theta}{ \sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}= \sqrt{\frac{\ell}{g}}\,f(\theta_0)\, . \end{align}$ Für das zweite System können Sie dies natürlich nicht tun, da Energie nicht erhalten wird.

Manuel Fortin · Answer 3

Um die anderen Antworten hinzuzufügen, können Sie im allgemeinen Fall komplexerer Systeme konservative Systeme haben, in denen es keine periodische Umlaufbahn gibt. Dies ist Gegenstand der Chaostheorie. Es gibt keine allgemeine Regel, die sagen kann, ob ein System chaotisch ist oder nicht. Es gibt viele Theoreme, die Ihnen in einigen Fällen helfen können, aber der allgemeine Fall ist nicht gelöst.

Können wir die periodische/aperiodische Natur der Bewegung aus der Bewegungsgleichung erraten?

Erstarrung

Sammy Rennmaus

Antworten (3)

Chris

eranreches

Chris

eranreches

LLlAMnYP

Chris

LLlAMnYP

ZeroTheHero

Manuel Fortin

Langfristige Lösung für einen angetriebenen harmonischen Oszillator

Ist es möglich, ein "Ersatzpendel" für ein System aus zwei gleichen, aber senkrechten Pendeln zu finden?

Warum ist die Zeitdauer eines Pendels mit einer Feder der Kraftkonstanten kkk und einer Schwinge mit beträchtlicher Masse mmm auf dem Mond dieselbe wie auf der Erde?

Modellierung erzwungener Schwingungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion

Zusammengesetzte Pendelklärung?

Energieübertragung zwischen gekoppelten Oszillatoren

Ermitteln der Periode einer anharmonischen Schwingung durch Einsetzen der Lösung für SHM

Wie lang ist die Periodendauer eines Oszillators mit variierender Federkonstante?

Position zweier durch eine Feder verbundener Blöcke als Funktion der Zeit

Ist der Luftwiderstandsbeiwert dasselbe wie der Dämpfungsbeiwert? Kann ich den Luftwiderstandsbeiwert anhand der Daten einer dämpfenden Schwingkugel ermitteln?