Modellierung erzwungener Schwingungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion

Question

Modellierung erzwungener Schwingungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion

John Doe

In einem Physikbuch bin ich auf die folgende Lösung einer Differentialgleichung gestoßen, die eine erzwungene, gedämpfte, oszillierende Bewegung modelliert:

X (T) = A \cos (ω T + ϕ)

$x(t)=A\cos(\omega t+\phi)$ Wo

A = \frac{F_{0}}{\sqrt{M^{2} {(ω^{2} - ω_{0}^{2})}^{2} + B^{2} ω^{2}}}

$A=\frac{F_0}{\sqrt{m^2\left(\omega^2-\omega_0^2\right)^2+b^2\omega^2}}$ Die Differentialgleichung, die zu dieser Lösung geführt hat, ist

- k X - B \dot{X} + F_{0} Sünde (ω T) = M \ddot{X}

$-kx-b\dot{x}+F_0\sin(\omega t)=m\ddot{x}$

Dies fühlt sich jedoch nicht ganz intuitiv richtig an. Bei der Kreisfrequenz $\omega$ des Gegenstands, der die erzwungene Schwingung verursacht, gleich der natürlichen Kreisfrequenz ist $\omega_0$ des Systems, in dem es eine Schwingung verursacht, scheint dies intuitiv zu funktionieren. Aber wenn dies nicht der Fall ist, scheint es so $x(t)$ kann nicht als einzelne trigonometrische Funktion modelliert werden, sondern als Kombination mehrerer.

Zum Beispiel in diesem Video bei 1:26 die Frequenz $\omega$ des Vibrationsgenerators auf 2 Hz eingestellt, was sich von der Eigenfrequenz unterscheidet $\omega_0$ des Systems (dies stellt sich als $\approx3.33$ Hz) und die Bewegung der Masse scheint nicht einer einzigen trigonometrischen Funktion zu ähneln, sondern mehreren.

Hier ist mein bester Versuch, die scheinbare Bewegung bei 1:26 grafisch darzustellen:

F (X) = \cos (X) - \cos (2 X)

$f(x)=\cos(x)-\cos(2x)$

Meine Frage: Ist die Formel falsch/eine vereinfachte Version? Wenn ja, was ist das Richtige? Wenn nicht, wo mache ich hier einen Fehler?

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Modellierung erzwungener Schwingungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion

Vinzenz Thacker · Answer 1

Die Lösung eines erzwungenen und gedämpften harmonischen Oszillators

M \ddot{X} = - k X - B \dot{X} + F_{0} \cos ω_{D} T

$m\ddot{x}=-kx - b\dot{x} +F_0 \cos\omega_{\text{d}} t$ ist eigentlich die Summe des stationären Anteils

x_{s}

$x_{\text{s}}$ und einen transienten Teil

x_{t}

$x_{\text{t}}$

X = X_{S} + X_{T}

$x = x_{\text{s}} + x_{\text{t}}$ Wo

X_{S} \sim A \cos (ω T + ϕ) X_{T} \sim A^{'} e^{- γ T} Sünde (ω^{'} T + ϕ^{'})

$x_{\text{s}} \sim A\cos(\omega t+\phi) \\ x_{\text{t}} \sim A' e^{-\gamma t} \sin (\omega' t+\phi')$

Der transiente Teil hängt von den Anfangsbedingungen ab und beide Teile sind am Anfang vorhanden. Im Laufe der Zeit nimmt der transiente Teil exponentiell ab und hinterlässt nur die stationäre Lösung, die Sie zitiert haben. Die vollständigen Gleichungen finden Sie hier . Daher ist die Bewegung zu Beginn keine einzelne reine Triggerfunktion, sondern eine Summe von zwei Triggerfunktionen.

Thomas Fritsch · Answer 2

Beim genauen Betrachten des Videos (ab ca. 0:35) fällt auf, dass sich das Antriebselement (an der Geräteunterseite) nicht in einer reinen Sinusschwingung bewegt. Es bewegt sich eher so:

Die Antriebsbewegung ist immer noch eine periodische, aber keine sinusartige Funktion.

Diese Schwingung kann man (wie jede periodische Bewegung) in eine Fourier-Reihe mehrerer reiner Sinusschwingungen zerlegen .

In diesem Fall sieht die Fourier-Zerlegung ungefähr so aus:

F (T) = F_{0} (Sünde (ω T) + 0,33 Sünde (3 ω T) + 0,2 Sünde (5 ω T) + . . .)

$F(t)= F_0( \sin(\omega t) + 0.33\sin(3\omega t) + 0.2\sin(5\omega t) + ...)$

Sie sehen, die Bewegung enthält nicht nur die Grundfrequenz $\omega$ , aber auch höhere Frequenzen (die Vielfache der Grundfrequenz sind).

Um Sie von der Gültigkeit der Fourier-Zerlegung zu überzeugen, ist hier ein Plot von $F(t)$ wobei nur die ersten 3 Komponenten der Serie berücksichtigt werden. Betrachtet man noch mehr höherfrequente Komponenten, dann würde die Reihe die Funktion aus dem ersten Bild noch besser annähern.

_{(Bild erstellt von FooPlot )}

Dann die Lösung der Differentialgleichung

- k X - B \dot{X} + F (T) = M \ddot{X}

$-kx-b\dot{x}+F(t)=m\ddot{x}$

wird sein

\begin{aligned} X (T) & = A (ω) \cos (ω T + ϕ (ω)) \\ + 0,33 A (3 ω) \cos (3 ω T + ϕ (3 ω)) \\ + 0,2 A (5 ω) \cos (5 ω T + ϕ (5 ω)) \\ + . . . \end{aligned}

$\begin{align} x(t) &= A(\omega)\cos(\omega t+\phi(\omega)) \\ &+ 0.33 A(3\omega)\cos(3\omega t+\phi(3\omega)) \\ &+ 0.2 A(5\omega)\cos(5\omega t+\phi(5\omega)) \\ &+ ... \end{align}$

Wo $A(\omega)$ ist immer noch der Ausdruck wie in Ihrer Frage angegeben und $\phi(\omega)$ ist ein weiterer Ausdruck, der ebenfalls aus der Differentialgleichung berechnet werden kann. Es ist keine Überraschung, dass die Resonanz $x(t)$ enthält nicht nur die Grundfrequenz $\omega$ , sondern auch die höheren Frequenzen. Besonders wenn eine dieser höheren Frequenzen ( $n\omega$ ) liegt zufällig in der Nähe der Resonanzfrequenz ( $\omega_0$ ), dann die Komponente mit $A(n\omega)$ wird ziemlich groß. Genau das konnte man im Video beobachten.

Modellierung erzwungener Schwingungen mit einer einzigen trigonometrischen Funktion

John Doe

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Vinzenz Thacker

Thomas Fritsch

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