Was sind Phasenkonventionen bei Drehimpuls- und Rotationsberechnungen?

Hier sind ein paar nette Absätze von Bohr & Mottelson:

Seit Zeitumkehr$T$Antikommuten mit dem Gesamtdrehimpuls, ist es bequem zu kombinieren$T$mit einer Drehung$R$durch den Winkel$\pi$um eine Achse senkrecht zu der$z$-Achse (die Achse der Raumquantisierung). Eine solche Drehung invertiert auch [Drehimpuls]$I_z$und somit

$$\begin{align*} [ RT, I_z ] &= 0 \\ [ RT, (\mathbf I)^2] &= 0. \end{align*}$$ Es ist daher möglich, mit Quantenzahlen eine Menge von Basiszuständen zu konstruieren $IM$, die auch Eigenvektoren von sind $RT$. Durch geeignete Wahl der Phasen dieser Zustände werden die Eigenwerte von $RT$kann gleich Eins gesetzt werden, $$RT \left| \alpha IM\right> = \left| \alpha IM \right>,$$ Wo $\alpha$stellt einen Satz zusätzlicher Quantenzahlen dar, die die interne Struktur der Zustände spezifizieren. Die herkömmliche Phasenlage entspricht der Wahl der Rotationsachse $R$zu sein $y$Achse.

und später

In der Darstellung, in der$j_z$diagonal ist, sind die nicht verschwindenden Matrixelemente der Drehimpulsoperatoren

$$\begin{align*} \left< jm \middle| j_z \middle| jm\right> &= m \\ \left< jm\pm1 \middle| j_x\pm ij_y \middle| jm\right> &= \sqrt{(j\mp m)(j\pm m+1)} \end{align*}$$ Die nichtdiagonalen Matrixelemente von $j_x\pm ij_y$beinhalten willkürliche Phasenfaktoren, die mit der Wahl relativer Phasen für die Zustände mit unterschiedlich verbunden sind $m$. Die Phasenkonvention [oben] impliziert, dass die Matrixelemente von $j_x$sind echt, während die von $j_y$sind rein imaginär, da $j_x$pendelt mit $RT$während $j_y$antipendelt mit $RT$. Uns bleiben also willkürliche reale Phasenfaktoren (±1), die herkömmlicherweise durch die Anforderung festgelegt werden, dass die Matrixelemente von $j_x ± i j_y$positiv sein (Condon und Shortley, 1935).

Heutzutage werden diese Phasen-„Wahlen“ in den Standarddefinitionen der Kugelharmonischen verschluckt (insbesondere die Beziehung zwischen Phase und$m$) und in der typischen Darstellung für die drei Drehachsen (eine Diagonale, eine rein reelle und eine rein imaginäre).