Warum nehmen Rotationen einer Mehrkomponenten-Zustandsfunktion diese Form an?

Physisch,$R$ist nur eine Drehung. Allerdings beim Schreiben$R \psi(x)$, lautet das allgemeine Ergebnis$R \psi(x) = (R\psi) (R^{-1}x)$.

Der$R^{-1}x$berücksichtigt, dass sich die Rotation auf die Raum-Zeit-Koordinaten auswirkt und dem Bahndrehimpuls entspricht, aber das muss man berücksichtigen$\psi$selbst ist möglicherweise kein Skalar (eine Invariante) unter Rotation.

Wenn$\psi$ein Vektor ist, können Sie ihn tatsächlich schreiben$\psi^\mu$, und dann haben Sie$(R\psi)^\mu = D(R){^\mu_\nu} \psi^\nu$, Wo$D(R)$ist die vektorielle Darstellung von$R$.

$\psi$kann auch ein Spinor sein$\psi^\alpha$, also müssen Sie das Spinorial verwenden$D(R)^\alpha_\beta$Darstellung von$R$.

Während Sie die Auswirkung von Rotationen auf die inneren Freiheitsgrade von Feldern betrachten, entspricht dies tatsächlich dem Drehimpuls des Spins.

Wie Sie wissen, wird jede Operation, die kontinuierlich oder diskret sein kann, in der Quantenmechanik beispielsweise durch einen Operator dargestellt$\hat{O}$. Unter der Operation eine physikalische Größe$\hat{X}$verwandelt sich als$\hat{X}' = \hat{O}\hat{X}\hat{O}^{-1}$. Falls$\hat{O}$kontinuierlich ist (eine Lie-Gruppe bildet), kann man es oft so schreiben$\hat{O} = e^{ir\hat{T}}$(es gibt eine allgemeinere Form, die wir hier nicht diskutieren), wo$r$ist ein kontinuierlicher Parameter und$\hat{T}$ein anderer Operator (Generator der Lie-Gruppe).

Betrachten wir nun drei Größen, die sich als Vektor transformieren sollen:$\vec{V} = (V_x,V_y,V_z)$. Mit anderen Worten, unter Rotation (bezeichnet mit$\hat{R}(\theta)$, ein Vorgang, der kontinuierlich ist und durch einen Drehwinkel gekennzeichnet ist$\theta$zusammen mit der Richtung der Rotationsachse$\hat{n}$), sollte es sich so umwandeln (der Einfachheit halber let$\hat{n}=(0,0,1)$):

$$V'_x = \cos(\theta)V_x + \sin(\theta) V_y\\ V'_y = -\sin(\theta) V_x + \cos(\theta)V_y \\ V'_z = V_z,$$ Wo $V'_{x,y,z}$bezeichnen die transformierten Komponenten. Andererseits haben wir folgendes $$V'_{x,y,z} = \hat{R}(\theta)~V_{x,y,z}~\hat{R}^{-1}(\theta),$$ was mit den obigen Gleichungen übereinstimmen muss. Dies legt dann eine Einschränkung für die Form von fest $\hat{R}(\theta)$. Um ihn vollständig zu bestimmen, müssen wir die durch die Kommutatoren von definierte Algebra kennen $\vec{V}$. Im vorliegenden Fall legen wir Folgendes fest: $$\vec{V}\times\vec{V} = i\vec{V}.$$ Nun kann man zeigen, dass die $\hat{R}$muss sein $$\hat{R}(\theta) = e^{i\theta\hat{n}\cdot\vec{V}},$$ unabhängig von der betrachteten Wellenfunktion.

Insbesondere sehen wir, dass beide Drehimpuls$\vec{L}$und drehen$\vec{s}$(sowie deren Summe$\vec{J}$) erfüllen die Eigenschaften von$\vec{V}$. Somit muss die Rotation in Bezug auf sie erfolgen

$$\hat{R}(\theta) = e^{i\theta\hat{n}\cdot\vec{J}} = e^{i\theta\hat{n}\cdot\vec{L}}\cdot e^{i\theta\hat{n}\cdot\vec{s}}.$$ Das haben wir genutzt $\vec{s}$pendelt mit $\vec{L}$. Falls Sie nicht an Spinkomponenten interessiert sind, können Sie den zweiten Faktor des obigen Ausdrucks ignorieren.