Warum gibt es einen Phasenfaktor, wenn die beiden zusammengesetzten Drehimpulse in Clebsch-Gordan-Koeffizienten ausgetauscht werden?

Question

Warum gibt es einen Phasenfaktor, wenn die beiden zusammengesetzten Drehimpulse in Clebsch-Gordan-Koeffizienten ausgetauscht werden?

Physik
Drehimpuls
Quantenmechanik
Gruppendarstellungen

Siyuan Ren

Für CG-Koeffizienten existiert eine Identität:

⟨ J_{1} M_{1} J_{2} M_{2} | J M ⟩ = (- 1)^{J_{1} + J_{2} - J} ⟨ J_{2} M_{2} J_{1} M_{1} | J M ⟩,

$\langle j_1 m_1 j_2 m_2 |J M \rangle = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle,$

Aber warum gibt es einen Phasenfaktor? $(-1)^{j_1+j_2-J}$ ?

Es scheint mir, dass

| J M ⟩ = \sum_{M_{1}, M_{2}} | J_{1} M_{1} ⟩ \otimes | J_{2} M_{2} ⟩ ⟨ J_{1} M_{1} J_{2} M_{2} | J M ⟩ = \sum_{M_{1}, M_{2}} | J_{2} M_{1} ⟩ \otimes | J_{1} M_{2} ⟩ ⟨ J_{2} M_{2} J_{1} M_{1} | J M ⟩

$|JM\rangle =\sum_{m_{1},m_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle\otimes|j_{2}m_{2}\rangle\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle =\sum_{m_{1},m_{2}}|j_{2}m_{1}\rangle\otimes|j_{1}m_{2}\rangle\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle$

Und da $|j_{1}m_{1}\rangle\otimes|j_{2}m_{2}\rangle$ Und $|j_{2}m_{1}\rangle\otimes|j_{1}m_{2}\rangle$ denselben physikalischen Zustand haben, sollte es keinen Unterschied zwischen ihnen geben $\langle j_1 m_1 j_2 m_2 |J M \rangle$ Und $\langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle$ . Was mache ich falsch?

Antworten (2)

Warum gibt es einen Phasenfaktor, wenn die beiden zusammengesetzten Drehimpulse in Clebsch-Gordan-Koeffizienten ausgetauscht werden?

Ron Maimon · Answer 1

Ihr Fehler ist einfach die Aussage, dass der Staat $|j_1 m_1\rangle$ Und $|j_2 m_2\rangle$ sind derselbe physikalische Zustand: Dies sind abstrakte Drehimpulsetiketten, sie sind keine vollständigen Beschreibungen des Zustands. Die beiden Zustände wären nur dann gleich, wenn die beiden Objekte, die diese Quantenzahlen tragen, in keiner Weise zu unterscheiden sind, wie zwei Spin-1/2-Elektronen in einer S-Welle im Grundzustand des He-Atoms. In diesem Fall überlebt nur die antisymmetrische Spin-0-Kombination, wo der Phasenfaktor $(-1)^{j_1+j_2 + J}$ ist -1. Die beiden Elektronen sind Fermionen, also sehen Sie, dass die beiden Zustände ein Minuszeichen bekommen müssen, und das ist nur möglich, wenn sie eine Spin-0-Kombination sind. Es gibt keine Spin-1-Version des He4-Grundzustands, weil der Spin der beiden Elektronen nicht ausgerichtet sein kann, da sie Fermionen sind.

Der Weg zum Verständnis des Phasenfaktors führt über einige Beispiele und eine bessere SU(2)-Darstellungstheorie. Die Beispiele sind das Vektorkombinationsgesetz:

A \cdot B

$A \cdot B$

A \times B

$A \times B$

(A B)_{ich J} = \frac{1}{2} (A_{ich} B_{J} + B_{J} A_{ich}) - \frac{1}{3} A \cdot B δ_{ich J}

$(AB)_{ij} = {1\over 2}(A_i B_j + B_j A_i) - {1\over 3} A\cdot B \delta_{ij}$

Dies sind die Spin-0-, Spin-1- und Spin-2-Teile des Produkts zweier Vektoren in der SO(3)-Indexnotation. Sie können sehen, dass der Spin-1-Teil unter Vertauschung antisymmetrisch ist und die Spin-2- und Spin-0-Teile symmetrisch sind.

Ebenso ist die antisymmetrische Spin-1/2-Spin-1/2-Kombination das Singulett und die symmetrische das Triplett. Dies ist am einfachsten in der SU(2)-Indexnotation zu sehen, wo

ϵ_{ich J} A^{ich} B^{J}

$\epsilon_{ij} a^i b^j$

ist das aus SU(2)-Vektoren gebildete Singulett $a^i$ Und $b^i$ , während das Triplett ist

(A B)^{ich J} = (A^{ich} B^{J} + A^{J} B^{ich})

$(AB)^{ij} = (a^i b^j + a^j b^i )$

Was symmetrisch ist. Hüten Sie sich davor $AB^{12}$ ist im Vergleich zum üblichen Lehrbuch nicht richtig normalisiert $|j,m\rangle$ Präsentation. Einer der Zustände des 2-Tensors (2-Tensor von SU(2), dem Spin-1-Objekt) ist

| 1, 0 ⟩

$|1,0\rangle$

Wenn es als SU (2) -Tensor dargestellt wird, hat dies Komponenten

(A B)^{12} = (A B)^{21} = \frac{1}{\sqrt{2}}

$(AB)^{12} = (AB)^{21} = {1\over \sqrt 2 }$

Diese Zahlen werden bestimmt, indem sichergestellt wird, dass der Tensor normalisiert ist, und Sie erhalten die Quadratwurzel von ganzzahligen Faktoren. Die anderen Zustände haben diese störenden Faktoren nicht, aber diese bauen die Clebsch-Gordon-Koeffizienten auf.

Die Darstellungstheorie von SU(2), wenn sie in Tensoren ausgedrückt wird, macht die $J=j_1+j_2$ Darstellung durch Multiplikation der beiden Tensoren für $j_1$ Und $j_2$ ohne Epsilon. Dies macht eine völlig symmetrische Sache, bei der Sie die antisymmetrischen Teile loswerden.

Wenn Sie J heruntersteigen, erhalten Sie ein $\epsilon$ Tensor jedes Mal, wenn Sie nach unten gehen, wodurch sich der symmetrische / antisymmetrische Charakter ändert. Diese Art der Darstellungstheorie ist die einfachste Art, sie ermöglicht es Ihnen, die Clebsch-Gordon-Koeffizienten in Ihrem Kopf zu tragen. In dieser Antwort wird es ausführlich beschrieben: Was ist mathematisch gesehen eine Farbladung? .

Ich habe es verstanden, als Sie sagten "zwei Spin-1/2-Elektronen in einer S-Welle im Grundzustand des He-Atoms ..."
Also, $|j_1m_1\rangle$ ist sicherlich eine vollständige Beschreibung des Zustands unter der Annahme, dass wir mit "Zustand" einen Vektor im Hilbert-Raum bis zu einer Phase oder Normalisierung (der physikalischen Definition eines Zustands) meinen. Sie sind also vollständige Beschreibungen des Zustands bis zu einer Phase - ein nicht entarteter Eigenzustand eines vollständigen Satzes pendelnder Observablen ist bis zu einer Phase einzigartig. Aber die Phase ist genau das, was sich unter Permutationen usw. ändern darf.
@LubošMotl: Das stimmt, aber zu erklären ist, warum die Phasenwahl unter Vertauschung der Spinzustände gemäß den drei beteiligten Darstellungen +/- 1 genommen werden muss. Sie könnten natürlich beliebige zusätzliche Phasen in die Zustände stopfen, aber dann funktionieren die Aufwärts- und Abwärtsoperatoren weder bei den kleinen noch bei den großen Darstellungen richtig (ohne Phasen). Die konsequente Phasenwahl lässt sich am besten durch Zählen erklären $\epsilon$ Tensoren, und so wird es in elementaren QM-Büchern nicht gemacht, aber es ist viel einfacher.

ZeroTheHero · Answer 2

Die eigentliche Gesamtphase eines Clebsch-Gordan ist Konventionssache. Das ist am einfachsten Beispiel gut zu sehen: der Kopplung zweier Spin-1/2-Teilchen. Der Zustand mit Drehimpuls L=0 und M=0 ist antisymmetrisch und kann (bis auf eine Normierung) geschrieben werden als

| \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{2} - | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{2}

$|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 - |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$ Die relative Phase ist wesentlich, wenn dieser Zustand orthogonal zum Zustand L = 1, M = 0 sein soll, aber wir hätten auch nehmen können

- | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{2} + | \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ⟩_{1} | \frac{1}{2}, \frac{1}{2} ⟩_{2}

$-|\textstyle\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_2 + |\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\rangle_1|\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle_2$ als die

L = 0, M = 0

$L=0, M=0$ Zustand: Diese zweite Wahl wird noch durch vernichtet

L_{+}

$L_+$ und immer noch ein Eigenzustand von

L_{z}

$L_z$ mit Eigenwert

0

$0$ , ist also eine ebenso gute Wahl für

L = 0, M = 0

$L=0,M=0$ Zustand.

In allgemeineren Fällen, wann immer $L$ ist nicht $L_1+L_2$ , müssen die Clebschs einige negative Vorzeichen enthalten, um Orthogonalität zwischen unterschiedlichen Zuständen zu erzwingen $L$ 's aber die gleichen Werte von $M$ . Die relative Position dieser Zeichen wird vollständig durch die Orthogonalität zu anderen Zuständen bestimmt, aber das Gesamtzeichen ist eine Frage der Bequemlichkeit: Was wir das erste oder das zweite "System" nennen, ist lediglich eine Frage der Konvention.

Es gibt mehrere Konventionen, die verwendet werden, um das Gesamtzeichen auszuwählen. In der Drehimpulstheorie ist der Condon-Shortley der häufigste (aber nicht der einzige). Der enzyklopädische Text von Varshalovich et al. gibt eine Zusammenfassung der von mehreren Autoren verwendeten Konventionen.

Eines der Merkmale der CS-Phasenkonvention ist gerade, dass sie Phasenbeziehungen der oben angegebenen Art erzeugt, wenn wir zwei Bezeichnungen vertauschen. Diese Wahl ist daher praktisch für Tabellenzwecke: Im Grunde muss man die Koeffizienten nur dann tabellieren, wenn $L_1\ge L_2$ seit den Fällen, wo $L_2>L_1$ werden durch Permutation erhalten und durch eine Phasenänderung auf den ursprünglichen Fall bezogen.

Warum gibt es einen Phasenfaktor, wenn die beiden zusammengesetzten Drehimpulse in Clebsch-Gordan-Koeffizienten ausgetauscht werden?

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