Quantisierung des Bahndrehimpulses

Question

Quantisierung des Bahndrehimpulses

Physik
Lügen-Algebra
Drehimpuls
Quantenmechanik
Gruppendarstellungen

garamc

Wahrscheinlich eine sehr einfache Frage, aber ich kann die Antwort im Internet nicht finden. Ich weiß fast nichts über Quantenmechanik, aber in der statistischen Physik werde ich mit der Idee konfrontiert, dass der Bahndrehimpuls als quantisiert wird

L = \sqrt{(N (N + 1)} ℏ,

$L = \sqrt{(n(n+1)}\hbar,$ mit

n

$n$ eine ganze Zahl sein.

Aber in der Bohr-Beschreibung des Wasserstoffatoms wurde ich auch konfrontiert

L = N ℏ,

$L = n\hbar,$ mit

n

$n$ eine ganze Zahl zu sein, was der ersten zu widersprechen scheint. (Wenn ich im Internet danach suche, steht dort, dass die erste

L

$L$ ist die Norm des Drehimpulses, während die zweite

L

$L$ ist nur die

z

$z$ -Komponente. Aber ich verstehe nicht, wie diese beiden unterschiedlich sein können.)

Und was ich mich auch frage ist, wenn das Elektron des Wasserstoffatoms im Grundzustand ist, welches wird sein Rotationsimpuls sein? Und weil $\mu = \frac{eL}{2m}$ , mit $\mu$ Da es sich um das magnetische Moment handelt, was wird das magnetische Moment sein? Es scheint, dass beide Formeln unterschiedliche Werte ergeben.

Ich hoffe, dass es möglich ist, dafür eine einfache (intuitive) Erklärung zu geben, da ich im Moment keine Erfahrung mit quantenmechanischen Operatoren habe, ...

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/28520/2451

David z

Ich sehe, Sie haben bereits eine Antwort, also hoffe ich, dass das hilft ... aber ehrlich gesagt, ich denke, die Tatsache, dass Sie nicht viel Erfahrung mit quantenmechanischen Operatoren haben, behindert Ihre Fähigkeit zu verstehen, warum die z-Komponente des Winkels Schwung ist geringer als die Norm (z

n > 0

$n > 0$ ). Mit anderen Worten, ich denke, es gibt eine Grenze dafür, wie einfach es möglich ist, dieses Konzept zu erklären.

Antworten (2)

Quantisierung des Bahndrehimpulses

Ich sehe, Sie haben bereits eine Antwort, also hoffe ich, dass das hilft ... aber ehrlich gesagt, ich denke, die Tatsache, dass Sie nicht viel Erfahrung mit quantenmechanischen Operatoren haben, behindert Ihre Fähigkeit zu verstehen, warum die z-Komponente des Winkels Schwung ist geringer als die Norm (z $n > 0$ ). Mit anderen Worten, ich denke, es gibt eine Grenze dafür, wie einfach es möglich ist, dieses Konzept zu erklären.

JoshPhysik · Answer 1

Wenn Sie gemäß der Quantenmechanik das Betragsquadrat des Bahndrehimpulses des Elektrons im Wasserstoffatom messen, dann sind mögliche Ergebnisse der Messung die diskreten Werte

L^{2} = ℓ (ℓ + 1) ℏ^{2}, ℓ \geq 0

$L^2 = \ell(\ell+1)\hbar^2, \qquad \ell\geq 0$ Da dies das Ergebnis der Messung des Betragsquadrats ist, gibt es eine endliche Folge von

2 ℓ + 1

$2\ell+1$ mögliche Ergebnisse für den entsprechenden Messwert der

z

$z$ Komponente, nämlich

L_{z} = ℓ_{z} ℏ, ℓ_{z} = - ℓ, - ℓ + 1, \dots, ℓ - 1, ℓ

$L_z = \ell_z\hbar, \qquad \ell_z = -\ell, -\ell+1, \dots, \ell-1, \ell$ Nun, das sagst du

es wird gesagt, dass das erste L die Norm des Drehimpulses ist, während das zweite L nur die z-Komponente ist. Aber ich verstehe nicht, wie diese beiden unterschiedlich sein können

Auch im klassischen Fall sind diese meist unterschiedlich da

L^{2} = L_{X}^{2} + L_{j}^{2} + L_{z}^{2}

$L^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$ so dass

L_{z}^{2} = L^{2} - L_{X}^{2} - L_{j}^{2}

$L_z^2 = L^2 - L_x^2 - L_y^2$ Mit anderen Worten, auch im klassischen Fall ist die Größenordnung der

z

$z$ Komponente ist kleiner als die Größe des Drehimpulses, es sei denn, die

x

$x$ Und

y

$y$ Komponenten sind Null. Einer der Hauptunterschiede zwischen dem klassischen Fall und dem Quantenfall ist jedoch, dass im Quantenfall der größtmögliche Wert von

L_{z}^{2}

$L_z^2$ für einen bestimmten Wert

L^{2} = ℓ (ℓ + 1) ℏ^{2}

$L^2 = \ell(\ell+1)\hbar^2$ Ist

(L_{z}^{M A X})^{2} = ℓ^{2} ℏ^{2}

$(L_z^\mathrm{max})^2 = \ell^2\hbar^2$ was streng kleiner ist als

L^{2}

$L^2$ es sei denn

ℓ = 0

$\ell=0$ . Vielleicht finden Sie dieses Bild von dieser Wiki-Seite hilfreich, um ein Gefühl für diese Tatsache zu bekommen.

Vielen Dank, das war sehr deutlich. Ich habe jedoch eine Frage: Im Bohr-Modell sagen sie das aus $L = n\hbar$ mit $n$ die Hauptquantenzahl. Also für ein Elektron im Grundzustand des Wasserstoffatoms: n = 1 und $L = \hbar$ , aber für n = 1 die Winkelquantenzahl (die ich annehme $l$ ) muss also 0 sein $L$ muss 0 sein. Das habe ich mir auch gedacht $L_z = L$ denn im Bohr-Modell nehmen sie die Rotationsbewegung des Elektrons in die auf $xy$ -Flugzeug, also $L_x = L_y = 0$ . Aber wahrscheinlich kann ich solche Annahmen in der Quantenmechanik nicht treffen.
@yarnamc das Bohr-Modell ist ein nützliches Modell - wie das Rutherford-Atom "Planetensystem" -, hat jedoch schwerwiegende Einschränkungen und ist keine genaue Darstellung der Realität. Insbesondere in der Quantenmechanik $L_x=L_y=0$ hält im Mittel ihre Quadrate $L_x^2$ Und $L_y^2$ positive Erwartungswerte haben. In semiklassischen Fällen gibt es Umlaufbahnen, die mehr oder weniger auf Ebenen beschränkt sind, aber selbst dann sind sie ein wenig "verschmiert"; der Grundzustand ist weit entfernt von semiklassisch und das Bohr-Modell hält nicht sehr gut.

DarenW · Answer 2

In jenen frühen Tagen hatte Bohr nicht wirklich über L als Vektor nachgedacht. Er wollte nur eine ganzzahlige Anzahl von Wellenzyklen bekommen, die in eine Umlaufbahn passen. So die einfache Formel. Es würde gut funktionieren, wenn wir nehmen würden $L$ meinen $L_z$ .

Später, als Theoretiker die Implikationen des Drehimpulses in drei Dimensionen unter Verwendung von Operatoren, Eigenzuständen und all dem ausarbeiteten, erkannten sie, dass atomare Orbitalwellenfunktionen gut auf sphärische Oberflächen passen mussten. Der $L_z$ Formel war nur für den Teil der Welle, der um den "Äquator" des Atoms passt. Damals entstand die komplexere Formel für den Gesamtdrehimpuls.

Quantisierung des Bahndrehimpulses

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