Ist jeder Drehimpuls quantisiert?

Der Drehimpuls hat nur quantisierte Eigenwerte; diese Aussage gilt ganz allgemein für alle Körper. Zum Beispiel,$J_z$muss ein Vielfaches von sein$\hbar/2$Weil

$$U = \exp(4\pi i J_z)$$ ist die Rotation um $4\pi$und eine solche Drehung bringt jeden Zustand zu sich und muss Identität sein. (Für ein $2\pi$Drehung ändert der Zustand das Vorzeichen, wenn er eine ungerade Anzahl von Fermionen enthält.) Also haben wir $$\exp(4\pi i j_z) = 1\quad \Rightarrow\quad j_z\in\{0,\frac 12, 1, \frac 32, \dots\}$$ Kann die Quantisierung von $j_z$wirklich gemessen werden? Nun, man darf nur einen scharfen Wert von messen $j_z$wenn das Objekt ein Eigenzustand ist. Eigenzustände von $j_z$sind rotationssymmetrisch in Bezug auf Rotationen um die $z$-Achse, bis hin zu einer Gesamtphase. Wenn wir also ein nicht axialsymmetrisches Objekt haben, ist es scharf $j_z$Eigenwert kann offensichtlich nicht beobachtet werden, da es sich um eine lineare Überlagerung vieler Zustände mit unterschiedlichen handelt $j_z$Eigenwerte.

Bei Atomen kann der Drehimpuls beobachtet werden; dies sind die üblichen Quantenzahlen, die den Elektronen zugeordnet sind. Auf die gleiche Weise kann offensichtlich der Gesamtdrehimpuls gemessen und für Kerne als quantisiert gezeigt werden.

Größere Systeme sind Moleküle. Bei einigen Molekülen kann die quantisierte Natur des Drehimpulses gemessen werden. Um etwas Terminologie hinzuzufügen, messen wir die Rotationsquantenzahlen dieser Moleküle, indem wir Übergänge im Rotationsspektrum beobachten, und die Methode ist die Rotationsspektroskopie:

http://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_spectroscopy

Sie gilt nur für Moleküle in Gasen, weil in Festkörpern und Flüssigkeiten Stöße ständig den Drehimpuls verzerren. Außerdem kann man keine wohldefinierte Quantisierung haben$j_z$für "echte Festkörper", dh Kristalle, weil Kristalle unter kontinuierlichen Rotationen nicht symmetrisch sind; sie werden nur von der diskreten kristallinen Untergruppe der Rotationsgruppe invariant gehalten.

Die maximale Größe, für die die Quantisierung verifiziert werden kann, sind also "ziemlich große" Gasmoleküle, und die maximale Größe wird mit fortschreitendem Fortschritt größer (und wenn Menschen in der Lage sind, die Temperatur zu senken und die Genauigkeit zu verbessern).

Für diejenigen, die an einer algebraischen Herangehensweise an dieses Problem interessiert sind, ist es möglich, zu beweisen, dass der Drehimpuls nur unter Verwendung der Kommutierungsbeziehungen quantisiert wird

$$\mathbf{J}\times\mathbf{J}=i\hbar\mathbf{J}.$$ Daraus kann man den Operator bauen$\mathbf{J}^2$, genannt Gesamtdrehimpulsoperator. Man kann auch die Hebe- und Senkoperatoren bauen $$J_{\pm} = J_x \pm iJ_y.$$ Diese Betreiber pendeln mit$\mathbf{J}^2$(und daher seinen Eigenwert unverändert lassen) und den Eigenwert von erhöhen/verringern$J_z$um eine Einheit von$\hbar$(All dies kann aus den Kommutierungsbeziehungen bewiesen werden). Es ist üblich, den Eigenwert zu definieren$j$verwenden$\hbar^2 j(j+1)=a$, Wo$a$ist der eigentliche Eigenwert$\mathbf{J}^2$. Es ist auch konventionell zu verwenden$m=b/\hbar$, Wo$b$ist der Eigenwert von$J_z$.

Mit diesen Definitionen und den Vertauschungsrelationen können wir die Ungleichung beweisen$j(j+1)\geq m^2$muss für jeden simultanen Eigenzustand von gelten$\mathbf{J}^2$Und$J_z$. Intuitiv ist dies nur die quantenmechanische Version der Tatsache, dass die$z$-Komponente des Drehimpulses kann nicht größer sein als der Gesamtdrehimpuls.

Vermuten$|\psi\rangle$ist ein Eigenzustand von$\mathbf{J}^2$Und$J_z$. Dann$(J_+)^n|\psi\rangle$ist auch ein Eigenzustand dieser Operatoren mit demselben Wert von$j$, aber mit$m$erhöht um$n$. Damit die Ungleichung immer gilt, müssen wir daher schließlich einen Endpunkt wo erreichen$(J_+)^n|\psi\rangle=0$. Lassen$|\psi_\text{max}\rangle$der Staat sein, so dass$J_+|\psi_\text{max}\rangle=0$. Die Eigenwerte dieses Zustands können wir aus der Tatsache bestimmen, dass

$$J_-J_+|\psi_\text{max}\rangle=J_-0=0.$$ Das kannst du zeigen$J_-J_+=\mathbf{J}^2-J_z^2-\hbar J_z$. Daher haben wir $$(\mathbf{J}^2-J_z^2-\hbar J_z)|\psi_\text{max}\rangle=(\hbar^2 j(j+1)-\hbar^2 m_\text{max}^2-\hbar^2 m_\text{max})|\psi_\text{max}\rangle=0$$ $$\implies j(j+1)=m_\text{max}(m_\text{max}+1)\implies j=m_\text{max}.$$ Jetzt müssen wir nur noch die Tatsache nutzen, dass$m$kann nicht unbegrenzt gesenkt werden, ohne die Ungleichung zu verletzen. Dies impliziert, dass es gibt$|\psi_\text{min}\rangle$mit $$0=J_+J_-|\psi_\text{min}\rangle=(\mathbf{J}^2-J_z^2+\hbar J_z)|\psi_\text{min}\rangle=(\hbar^2j(j+1)-\hbar^2m^2_\text{min}+\hbar^2m_\text{min})|\psi_\text{min}\rangle$$ $$\implies j(j+1)=m_\text{min}(m_\text{min}-1).$$ Wenn wir dies mit der oben erhaltenen Beziehung kombinieren, erhalten wir $$m_\text{min}^2-m_\text{min}=m_\text{max}^2+m_\text{max}.$$ Daraus schließen wir$m_\text{max}=-m_\text{min}$. Wenn wir jetzt beginnen, den minimalen Zustand zu erhöhen, müssen wir schließlich den maximalen Zustand erreichen, oder wir werden in der Lage sein, zu erhöhen$m$auf unbestimmte Zeit, Verletzung der Ungleichheit. Deshalb,$m_\text{max}=m_\text{min}+n$für eine ganze Zahl$n$. Die Kombination mit der vorherigen Gleichung ergibt $$j=m_\text{max}=\frac{n}{2}.$$ Deshalb,$j$kann nur eine ganze oder eine halbe ganze Zahl sein.

Ich werde den anderen Antworten nicht zustimmen: Ich denke, dass der Drehimpuls makroskopischer "klassischer" Objekte nicht quantisiert ist.

Stellen Sie sich einen Autoreifen vor, der in einem Radkasten durchdreht. Auf dem Reifen befindet sich ein Gerät, das auslöst, wenn ein bestimmter Punkt auf dem Rad einen bestimmten Punkt auf dem Schacht kreuzt, einen internen Zähler addiert, wenn er ihn im Uhrzeigersinn passiert, und einen subtrahiert, wenn er ihn gegen den Uhrzeigersinn kreuzt. (Alternativ könnte man auf das Radhaus verzichten und sagen, dass das Gerät seine eigene Position durch Trägheitsnavigation verfolgt.) Der Zustand dieses Systems kann durch einen Wert beschrieben werden$θ\in\mathbb R$, wo der aktuelle Wert des Zählers ist$\lfloor θ/2π\rfloor$und der Winkel des Rades ist$θ\text{ (mod }2π\text{)}$. In Abwesenheit äußerer Kräfte ist der Hamiltonoperator des Systems im Wesentlichen der eines freien Teilchens in$\mathbb R$, und das Spektrum der Drehimpulse ist kontinuierlich, genau wie das Impulsspektrum des freien Teilchens.

Das ist ein 2+1 dimensionales System. In 3+1-Dimensionen gibt es den Dirac-Gürtel-Trick, über den man sich Sorgen machen muss. Spielt es eine Rolle? Ich glaube nicht. Es gibt keinen Grund, das Gerät darauf zu beschränken, eine einzelne ganze Zahl zu speichern oder umkehrbar zu sein. Es könnte einfach die gesamte Historie seiner Orientierungsmessungen intern speichern oder sie per Funk übertragen und sie unauslöschlich in der universellen Wellenfunktion aufzeichnen. Das ist ein sehr nicht kompakter Zustandsraum und ein ausreichend genaues Modell von Körpern wie der Erde.

Der Drehimpulsoperator auf dieser Monstrosität verstößt offensichtlich gegen die Annahmen eines Beweises für die Quantisierung des Drehimpulses, aber das ist kein Grund, ihn nicht als Drehimpuls zu bezeichnen. Wir nennen es Drehimpuls, und darum ging es in der Frage.

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Als Antwort auf Kommentare werde ich versuchen, meine Antwort zu präzisieren.

Dies sind Quantensysteme, aber das Erdsystem ist „klassisch“ in dem Sinne, dass es ein Quantensystem mit emergentem klassischem Verhalten ist.

Der Grund dafür, dass sich Hochtemperatursysteme klassisch verhalten, ist, dass sie ständig Welche-Pfad-Informationen an die Umgebung abgeben. Wenn Sie ein Doppelspalt-Experiment mit der Erde durchführen, emittiert sie unterschiedliche Lichtmuster, die durch einen Spalt gehen als durch den anderen. Sie können buchstäblich sehen, durch welchen Schlitz es geht, aber selbst wenn Sie nicht hinsehen, ist die Information über den Pfad in den Lichtmustern oder in Wärmemustern vorhanden, wenn das Licht von den Wänden des Labors absorbiert wird, und das ist alles, was nötig ist, um die Endzustände orthogonal zu machen und das Interferenzmuster zu zerstören.

Es wird manchmal gesagt, dass man im Doppelspaltexperiment der Erde kein Interferenzmuster sehen kann, nur weil seine De-Broglie-Wellenlänge so klein ist. Das wäre richtig für ein supermassives stabiles Teilchen, das nicht strahlt, aber es ist falsch für die Erde. Für die Erde gibt es überhaupt kein Interferenzmuster, aus dem gleichen Grund gibt es kein Interferenzmuster, wenn sich an einem der Schlitze ein Detektor befindet. Die Wärmestrahlung der Erde ist der "Detektor".

Der Fall der Drehung ist ähnlich. Unterschiedliche Drehungen sind unterschiedliche Pfade durch den Zustandsraum (es ist der Zustandsraum, nicht der physikalische 3D-Raum, auf dem die Wellenfunktion definiert ist und der hier zählt). Betrachtet man zwei verschiedene Pfade, die in der gleichen physikalischen Orientierung enden (analog zur gleichen Position auf dem Bildschirm im Fall des Doppelspalts), stören sich diese Pfade, wenn nirgendwo Informationen darüber aufgezeichnet werden, welcher Pfad genommen wurde. Im Fall der Erde bedeutet dies, dass sie stören, wenn niemand feststellen kann, ob sich die Erde um ihre Achse gedreht hat oder nicht. Wenn es irgendwelche Aufzeichnungen darüber gibt – wenn sich Tiere an den Tag-Nacht-Zyklus erinnern oder nicht, aber im Prinzip könnten, oder wenn Aliens ihn durch ein Teleskop rotieren sehen, oder nicht, aber im Prinzip nicht könnten – dann gibt es keine Interferenz.

Der Beweis, dass der Drehimpuls quantisiert ist, hängt von der Kompaktheit des Orientierungsraums ab. Das ist in Ordnung, wenn der Raum der Orientierungen der Phasenraum ist, dh wenn das System gedächtnislos ist. Wenn es einen Speicher hat, dreht das System durch$2π$oder$4π$lässt es nicht in dem gleichen Zustand, in dem es nicht gedreht wird.

Das Reifenbeispiel im zweiten Absatz war möglicherweise ein Fehler, da es anscheinend nur Verwirrung gestiftet hat. Aber es ist abstrakt ein vollkommen gutes Quantensystem, und sein Zustandsraum ist es$\mathbb R$, nicht$S^1$.