Warum hat der Spin ein diskretes Spektrum?

Darüber habe ich kürzlich bei Wikipedia geschrieben . Der intuitivste Weg, um zu sehen, warum ein Operator mag$S_z$hat diskrete Werte basiert auf seiner Beziehung zu Rotationsoperatoren:

$R_{internal}(\hat{z},\phi) = \exp(-i\phi S_z / \hbar)$

wobei die linke Seite Drehung des Winkels bedeutet$\phi$über die$z$-Achse, dreht aber nur den "inneren Zustand" der Partikel, nicht ihre räumliche Position (siehe Wikipedia-Artikel für Details). Seit einer Drehung von$\phi=720^\circ$[siehe unten] das Gleiche ist wie überhaupt keine Rotation (dh der Identitätsoperator), schließen Sie daraus, dass die Eigenwerte von$S_z$können nur ganze oder halbe ganze Zahlen sein.

... ähnlich wie eine stehende Welle auf einer kreisförmigen Saite eine ganzzahlige Anzahl von Wellenlängen haben muss.

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Warte, warum habe ich gesagt$720^\circ$nicht$360^\circ$?? Nun, es gibt zwei mathematische Gruppen, die der Rotation in der realen Welt plausibel entsprechen könnten:$SO(3)$und$SU(2)$. Im$SO(3)$aber nicht$SU(2)$, drehend$360^\circ$ist das Gleiche wie sich überhaupt nicht zu drehen. In BEIDEN drehend$720^\circ$ist das Gleiche wie sich überhaupt nicht zu drehen. Wir können also absolut sicher sein, dass die$720^\circ$Rotationsoperator ist der Identitätsoperator, während z$360^\circ$es wäre nur eine Vermutung, die auf der Extrapolation der Intuition der klassischen Physik basiert. Solange Fermionen vorhanden sind, ist die Vermutung falsch! Rotieren eines Fermions um$360^\circ$entspricht dem Umkehren des Vorzeichens seiner Wellenfunktion.

Der tiefere Grund ist, dass die Komponenten des Spin-(Winkelimpuls-)Vektors die Rotationsgruppe erzeugen. Diese Gruppe ist kompakt, was bedeutet, dass eine Drehung senkrecht zu einer beliebigen Richtung notwendigerweise schließt. Dies impliziert aus mathematischen Gründen (gültig für jede kompakte Lie-Gruppe), dass ihre Darstellungen als Operatoren in einem Hilbert-Raum nur in diskreten Stapeln auftreten und die Eigenwerte jeder Komponente, im Allgemeinen Funktionen des Labels der Darstellung, im kompakten Fall sein müssen diskret sein.

Im Gegensatz dazu erzeugen Ort und Impuls die nichtkompakte Weyl-Gruppe (eine zentrale Erweiterung der Phasenraumtranslationen), und eine Translation entlang einer beliebigen Phasenraumrichtung schließt sich nie. Dies impliziert, dass die Eigenwerte kontinuierlich variieren.

Ich werde das mit einer Handbewegung erraten.

Die Natur ist quantenmechanisch, dh sie wird von quantenmechanischen Gleichungen beherrscht, die Bewegung usw. definieren. Die klassischen Lagrange-Operatoren sind meist ein Grenzfall für große Dimensionen.

Quantisierung tritt auf, wenn die Variablen eingeschränkt sind, beispielsweise in den Grenzen eines Potentialtopfs. Man stellt fest, dass nur quantisierte Werte erlaubt sind, also wird in einem einschränkenden Potential auch Impuls quantisiert, solange es diskrete Energieniveaus gibt.

Die Frage kann also nur richtig sein, wenn man die unbeschränkten Teilchen betrachtet und wird:

"Warum haben unbeschränkte Elementarteilchen im Gegensatz zu Impuls oder Energie usw. einen quantisierten Spin?"

Meine intuitive Antwort lautet: wahrscheinlich, weil Spin eine Rotation ist und Rotationen dadurch begrenzt sind$0$zu$2\pi$Einschränkung der Werte von Phi, eine endliche Einschränkung, im Gegensatz zum Impuls, der von null bis unendlich gehen kann. Einschränkungen sind Bedingungen für die Quantisierung.

Als Hilfe für die Intuition siehe Abschnitt 14 der Schiffschen Quantenmechanik, Trennung in Kugelkoordinaten der Schrödinger-Gleichung für kugelsymmetrische Potentiale. . Die Winkelgleichungen sind potentialunabhängig und ihre Lösungen sind quantisiert.