Quantisierung des Elektronenspins

Ich werde Ihnen keine strenge Erklärung geben, sondern ein Gefühl.

Die Diskretisierung des Drehimpulses ist eine Folge der Quantennatur von Teilchen.

Stellen Sie sich ein klassisches rotierendes Teilchen vor, die Variation der Aktion könnte geschrieben werden:

$\Delta S = J \Delta \theta$

Wo$J$ist der Drehimpuls, und$\theta$ein Engel.

An dieser Stelle gibt es keinen Grund dafür$J$muss diskrete Werte haben.

Wenden wir uns nun der Quantenmechanik zu. Der Hauptpunkt ist, dass in der Quantenmechanik$\large \frac{S}{\hbar}$ist eine Phase. Wenn wir zum Beispiel die Übergangsamplitude (Propagator) berechnen wollen, haben wir:

$$<x't'|xt> = \int D \Phi ~e^{i\large \frac{\Delta S(\Phi)}{\hbar}}$$ wo die Summe für alle Pfade durchgeführt wird $\Phi$, mit $\Phi(t) =x$Und $\Phi(t') =x'$

Es ist in diesem Ausdruck sehr klar, dass$\large \frac{S}{\hbar}$ist wirklich eine Phase.

Nun können wir formell schreiben,$e^{i\large \frac{\Delta S}{\hbar}}$wie, für Ihre Frage, als$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$

Aber weil$\theta$ist ein Winkel, mit dem es identifiziert wird$\theta + 2 \pi$, und wenn wir das wollen$e^{i\large \frac{ J \Delta \theta}{\hbar}}$ändert sich nicht, wir brauchen :

$$\frac{J (2 \pi)}{\hbar} = 2 \pi n$$ Das ist :

$$J = n \hbar$$

Nun, wenn Sie strenger sein wollen, könnte man sagen, dass wir in der Quantenmechanik nach einheitlichen Darstellungen von Gruppen suchen werden. Betrachten wir zum Beispiel die Gruppe der Drehungen$SO(3)$. Dies ist eine kompakte Gruppe (wegen der Identifikation$\theta$mit$\theta + 2 \pi$), sodass wir endlichdimensionale Darstellungen finden können. Um alle Darstellungen zu finden, müssen wir tatsächlich berücksichtigen$SU(2)$. Die Darstellungen von$SU(2)$werden durch eine Halbzahl oder eine ganze Zahl gekennzeichnet:$0,1/2,1,3/2,2$, etc... In einer Darstellung$s$, du hast$2s+1$Staaten, gekennzeichnet durch$-s, -s+1,....,s-1,s$. Für die Vertretung$s= 1/2$, Sie haben 2 Staaten beschriftet$-1/2, +1/2$

Der Spin eines Teilchens entsteht nicht durch eine Drehung des Teilchens um sich selbst. Es ist ein relativistischer Effekt. Bitte fragen Sie sich, warum das Elektron in einem Wasserstoffatom in bestimmten Entfernungen vom Kern zu finden ist und NICHT in irgendeiner Entfernung. Weil die Wellenfunktion mit sich selbst interferiert und es verbotene Distanzen gibt, weil dort die Wellenfunktion DISTRUKTIV interferiert. Das gleiche mit dem Spin. Der Unterschied besteht darin, dass die Wellenfunktion für den Spin nicht aussagt, WO das Teilchen ist, sie ist keine Funktion des Ortes.

Mit Vergnügen,

Sofia