Abfragen zu Rotationsgruppen SO(3)SO(3)\mathrm{SO}(3) und SU(2)SU(2)\mathrm{SU}(2) in QM

Bei der Klassifizierung von Gruppendarstellungen in der QM ist es notwendig, projektive Darstellungen zu berücksichtigen , da Zustände eigentlich Strahlen (Äquivalenzklassen) im Hilbert-Raum sind. Das bedeutet, dass Sie, um die Rotationssymmetrie eines Systems zu untersuchen, die projektiven Darstellungen von benötigen$\mathrm{SO}(3)$, die Standarddarstellungen von sind$\mathrm{SU}(2)$, denn letzteres ist die universelle Hülle des ersteren. Das ist der Grund$\mathrm{SU}(2)$ist im QM wichtig.

Die bereits vorhandenen Antworten haben den Unterschied zwischen abgedeckt$\mathrm{O}(3)$Und$\mathrm{SO}(3)$ausführlich, also werde ich das nicht wiederholen. Lassen Sie mich stattdessen den Punkt über die "Verwendung" von erklären$\mathrm{SO}(3)$vs. die "Nutzung" von$\mathrm{SU}(2)$, was meiner Meinung nach noch nicht geklärt ist:

1. $\mathrm{SU}(2)$ist eine doppelte Abdeckung von$\mathrm{SO}(3)$, was bedeutet, dass es einen Zwei-zu-Eins-Gruppenhomomorphismus gibt$\mathrm{SU}(2)\overset{2:1}{\to}\mathrm{SO}(3)$, oder gleichwertig,$\mathrm{SO}(3)\cong\mathrm{SU}(2)/\mathbb{Z}_2$. Außerdem wird sie einfach angeschlossen und ist somit die universelle Abdeckung . Die Lie-Algebren dieser beiden Lie-Gruppen sind gleich, dh$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$. Eine Darstellung einer Lie-Algebra induziert immer eine lineare Darstellung der ihr zugeordneten einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe, aber nicht immer eine Darstellung der anderen Gruppen. Genauer gesagt ist die Spin-1/2-Darstellung eine lineare Darstellung von$\mathfrak{so}(3)$, aber nicht von$\mathrm{SO}(3)$, nur von$\mathrm{SU}(2)$.

2. Die Spin-1/2-Darstellung ist dagegen eine sogenannte projektive Darstellung$\mathrm{SO}(3)$. Die Quantenmechanik benötigt eigentlich keine gewöhnlichen linearen Darstellungen von Symmetriegruppen, sondern projektive. Aus dem allgemeinen Grund, warum dies der Fall ist, siehe diese Fragen und Antworten von mir . In diesem Fall stellt sich heraus, dass projektive Darstellungen von$\mathrm{SO}(3)$sind äquivalent zu linearen Darstellungen von$\mathfrak{so}(3)$, oder äquivalent lineare Darstellungen von$\mathrm{SU}(2)$. Das ist der Grund$\mathrm{SU}(2)$erscheint in der Quantenmechanik, aber nicht in der klassischen Mechanik, wenn es um die Darstellung der Symmetriegruppe der Rotationen auf unserem Zustandsraum geht.

3. Die Spin-1/2-Darstellung ist durch die "Standard"-Darstellung gegeben$\mathrm{SU}(2)$, dh nur durch die 2-mal-2 speziellen unitären Matrizen. Aber es ist immer noch auch eine Repräsentation von$\mathfrak{so}(3)\cong\mathfrak{su}(2)$und eine projektive Darstellung von$\mathrm{SO}(3)$. Die Spin-1-Darstellung ist durch die "Standard"-Darstellung gegeben$\mathrm{SO}(3)$als 3-mal-3 spezielle orthogonale Matrizen, aber es ist immer noch auch eine Darstellung von$\mathfrak{su}(2)\cong\mathfrak{so}(3)$und eine Darstellung von$\mathrm{SU}(2)$über die 2-zu-1-Karte.

Wie würden Sie zwischen Rotationsoperatoren und inversen Operatoren unterscheiden? Wäre eine ausreichende Definition, dass Rotationsoperatoren eine Transformation mit einem Fixpunkt sind?

Man kann eine Drehung als eine Operation definieren, die einen beliebigen Vektor abbildet$\vec v$Zu$\vec v'$durch eine unendliche Folge von infinitesimalen Operationen, die die Länge des Vektors invariant lässt.

Betrachten wir zur Veranschaulichung Drehungen in der Ebene. Aus der Abbildung unten sehen wir, dass die einzige infinitesimale Operation, die wir ausführen können$\vec v$das lässt seine Länge unveränderlich ist

Wir sagen, dass eine Matrix$M$stellt genau dann eine Drehung dar, wenn sie in obiger Form geschrieben werden kann. Beachten Sie, dass eine Matrix wie z

Sie können leicht überprüfen, ob Rotationsmatrizen orthogonal (O) sind,$RR^T=I$, und speziell (S),$\det R=1$. Sie bilden die Gruppe$SO(2)$(oder$SO(3)$in drei Dimensionen). Reflexionsmatrizen haben eine Determinante$-1$sind aber auch orthogonal. Zusammen mit den Rotationsmatrizen bilden sie die Gruppe$O(2)$(oder$O(3)$in drei Dimensionen).

Gehe ich recht in der Annahme, dass die$\mathrm{SO}(3)$Die Rotationsgruppe hat in der Quantenmechanik keine große Anwendung, wird aber eher in der klassischen Mechanik verwendet$\mathrm{SU}(2)$wird eher in der Quantenmechanik verwendet, insbesondere z$s =\frac{1}{2}$Spinsysteme, in denen wir in einem zweidimensionalen Hilbert-Raum arbeiten?

In drei Dimensionen werden die infinitesimalen Rotationen von drei Generatoren erzeugt,$T_1,T_2,T_3$die die Rolle spielen$T$über. Sie erfüllen die Vertauschungsrelationen

Wie folgt daraus, dass es vier unabhängige Parameter für die allgemeine einheitliche Matrix gibt? So wie ich es sehe, gibt es drei unabhängige Parameter, nämlich$a$,$b$Und$\gamma$?

Wie bereits im Kommentar von jc315 erwähnt, unterliegen die sechs reellen Parameter zwei Einschränkungen, wodurch vier reelle unabhängige Parameter übrig bleiben.

1. Der eine oder der andere ist in der Gruppe, also spielt es keine Rolle, welchen man als das Gegenteil des anderen annimmt. Beachten Sie, dass$SU(2)$hat$3$(nicht$4$) unabhängige Parameter.$U(2)$hat eine Gesamtphase, die sich auf die Determinante seiner Elemente bezieht, zusätzlich zu der$3$Parameter ein$SU(2)$.
2. $SO(3)$hat wahrscheinlich mehr Anwendungen als$SU(2)$da alle Bahndrehimpuls ist$SO(3)$und nicht$SU(2)$. In jedem Problem mit einem zentralen Potential werden Sie Zustände mit kennzeichnen$SO(3)$nicht$SU(2)$irreps. Die Wellenfunktionen für starre Rotoren (zur Beschreibung einer Vielzahl von Kreiseln und linearen Molekülen) sind$SO(3)$Gruppenfunktionen.
3. Die Parameter sind komplex. Beginnt man mit der$8$komplexe Zahlen $$U=\left(\begin{array}{cc} A&B\\ C&D\end{array}\right)\, ,\qquad A,B,C,D\in\mathbb{C}\, ,$$ dann die Unitaritätsbedingungen$U^\dagger U=\hat 1$Kräfte$4$Bedingungen wie die Orthogonalität von Zeilen und Spalten. Wenn Sie die Bedingung det$=+1$das ist eine fünfte Bedingung dazu$8$Parameter -$5$Einschränkungen =$3$"freie" Parameter.
   Ein General$n\times n$einheitliche Matrix enthält$n^2$komplexe Parameter, oder$2n^2$echte Parameter. Es gibt$n^2$Bedingungen für die verlassenden Zeilen und Spalten$n^2$unabhängige reelle Parameter, von denen Sie einen weiteren subtrahieren, wenn die Determinante +1 sein soll.

$\mathrm{SO}(3)$ist die Gruppe aller$3 \times 3$reelle Matrizen mit Determinante$1$. Dies ist die Definition einer richtigen Drehung.$\mathrm{SO}(3)$ist eine Gruppe im formal mathematischen Sinne, also

Der$\mathrm{O}$In$\mathrm{SO}(3)$steht für 'orthogonal', was das bedeutet

und das$\mathrm{S}$Standard für „speziell“, was dies nur auf positive Determinanten beschränkt. Ich weiß nicht, woher Sie die Idee haben, dass die Umkehrungen nur darin existieren$\mathrm{O}(3)$(alle orthogonalen Matrizen mit positiver oder negativer Determinante), aber es ist nicht wahr. Die Elemente von$\mathrm{O}(3)$nicht in$\mathrm{SO}(3)$(dh Elemente von$\mathrm{O}(3) \backslash \mathrm{SO}(3)$) sind die Matrizen mit streng negativer Determinante, und diese werden als uneigentliche Rotationen bezeichnet. Sie invertieren die Koordinatenachsen und drehen sich, was möglicherweise zu Verwirrung führte. (Um es klar zu sagen: richtige Drehung$\iff\mathrm{det}(M) = 1$, unsachgemäße Drehung$\iff\mathrm{det}(M) = -1$.)

$\mathrm{SU}(2)$ist die Gruppe aller$2 \times 2$Komplexe Matrizen mit Determinante$1$. Der$\mathrm{U}$steht für unitary, was die komplexe Version von orthogonal ist:

wobei der Dolch das hermitische Konjugat ist, aber alles andere ist gleich (außer dass die Einträge komplex sind). Es gibt vier freie reelle Parameter, weil es sechs (nicht freie) reelle Parameter und zwei Bedingungen gibt,$6-2=4$. Insbesondere sind dies die komplexen Phasen von$a$Und$b$(zwei reelle Zahlen), die relative Größe von$a$Und$b$, und der Wert von$\gamma$, der ein einzelner freier reeller Parameter ist (oder zwei reelle Zahlen und eine komplexe Bedingung, die sicherstellt, dass er reell ist).

Das Wichtige an diesen beiden Gruppen ist das$\mathrm{SU}(2)$ist eine doppelte Abdeckung von$\mathrm{SO}(3)$. Aus diesem Grund benötigen Sie vier Parameter, um eine Drehung im 3D-Raum anzugeben, und nicht nur drei. Die Bloch-Sphäre in der Quantenmechanik ist eine Manifestation dieser Beziehung. Durch die doppelte Abdeckung wird der Winkel halbiert, wenn man zur Bloch-Darstellung eines Qubits geht.

Erstens bedeutet das S "speziell", was bedeutet, dass die Matrizen Determinante = 1 haben. Orthogonale Matrizen befriedigend$O^T O=I$mit Determinante -1 sind Drehungen kombiniert mit Paritätstransformationen - Spiegelung in einem Spiegel. Für Drehungen$O^T$ist natürlich die Matrix-Inverse von$O$; Paritätstransformationen werden jedoch manchmal als "Inversion" bezeichnet.

Beide Gruppen werden in der Quantenmechanik verwendet, um die Eigenschaften unter Rotation verschiedener physikalischer Systeme in Abhängigkeit von ihrem Drehimpuls zu beschreiben.$SU(2)$beschreibt Spin-1/2-Teilchen-Fermionen, wie das Elektron.$SO(3)$beschreibt Spin-1-Systeme wie das p-Orbital eines Wasserstoffatoms oder die Polarisation eines massiven Vektorbosons.