Kann der Spin eines Spin-1/21/21/2-Teilchens in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld kippen?

Da der Zustand des Teilchens zum Zeitpunkt T = − ∞ Ist | S z + ⟩ , ein Magnetfeld der Form B = B Tanh ⁡ ( T / τ ) z ^ , der Hamiltonoperator ist H = − μ → ⋅ B , Wo μ → = − γ S , wie finden Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen in dem Zustand befindet | S z − ⟩ zum Zeitpunkt T ?

Ich bin bisher an das Problem herangegangen, indem ich die Schödinger-Gleichung aufgestellt habe, indem ich die obige Definition des Hamilton-Operators verwendet habe, um den Zustand des Teilchens darzustellen | Ψ , T ⟩ als Spaltenvektor:

| Ψ , T ⟩ = ( ψ + ψ − ) ,

und lösen:

ich ℏ ∂ ∂ T | Ψ , T ⟩ = H ^ | Ψ , T ⟩ .

Dabei mit H genauer gesagt:

H ^ = γ B ℏ 2 Tanh ⁡ ( T τ ) ( 1 0 0 − 1 ) ,

Ich habe die allgemeine Lösung unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung gefunden:

| Ψ , T ⟩ = ( C 1 e − ich γ B τ 2 cosch ⁡ ( T τ ) 0 ) .

Die Sache ist, dass ich nicht weiß, ob ich meine eigene Frage richtig beantwortet habe, da es mir intuitiv scheint, dass beim Umdrehen der Richtung des Magnetfelds bei T = 0 , in den sich der Zustand ändern könnte oder würde | S z − ⟩ , was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt zu finden T im Staat | S z + ⟩ wäre nicht immer einer.

Wenn man den Hamilton-Operator auf den ursprünglichen Zustand anwendet, findet man diesen ursprünglichen Zustand multipliziert mit einer Konstante (wenn der Hamilton-Operator mit ausgewertet wird T = − ∞ ), was bedeutet (glaube ich), dass es in einem stationären Zustand existiert.

Ich würde mich freuen, wenn Sie mein Ergebnis bestätigen oder darauf hinweisen, dass es falsch ist, und Vorschläge machen, wie ich das Problem erneut angehen sollte, wenn meine aktuelle Lösung tatsächlich falsch ist.

Antworten (1)

Sie können sicherlich einen Spin mit einem Magnetfeld umdrehen. Es muss nicht einmal zeitabhängig sein; ein zeitunabhängiges Feld funktioniert, sofern es in die richtige Richtung zeigt. Aber die Richtung ist der Schlüssel; die kannst du nicht ändern z Projektion des Spins mit einem Magnetfeld, das vollständig in die Richtung zeigt z -Richtung.

Ein einziger Dreh- 1 2 Teilchen verhält sich im Wesentlichen wie ein klassisches magnetisches Moment. Wenn es einem Magnetfeld in der z -Richtung, wird der Spin um die präzedieren z -Achse. (Klassischerweise ist dies eine Folge des Drehmoments N → = μ → × B → .) Wenn der Spin nicht genau entlang der zeigt ± z -Achse, die X - Und j -Komponenten von S → wird sich verändern; jedoch die z -Komponente bleibt konstant. Das hast du mit deiner Rechnung herausgefunden. Wenn das Magnetfeld zeigte eine Komponente in der X j -Flugzeug, Ihre Initiale S → um eine andere Richtung präzedieren würde, und die z - Projektionen des Spins würden sich so ändern, wie Sie es sich erhofft hatten.

Hmmm. Aufgrund Ihres Kommentars scheint mir also, dass meine Berechnung, wie ich sie durchgeführt habe, aufgrund des Anfangszustands des Teilchenwesens richtig ist | S z + ⟩ und das Magnetfeld darauf ausgerichtet ist. Klassisch jedoch würde die Richtung des Moments nicht die Richtung ändern? Die potentielle Energie des Teilchens ist klassischerweise: U = − μ → ⋅ B , und um dies zu minimieren, hätte man μ ausrichten mit B .
@T.Zaborniak Ja, es ist die Tatsache, dass das Feld und die anfängliche Spinrichtung ausgerichtet sind, die dazu führt, dass sich der Spin nicht ändert. (Der Ausdruck für die zeitabhängige Wellenfunktion in der Frage ist jedoch etwas seltsam; der absolute Wert der oberen Komponente des Spinors sollte für alle Zeiten 1 sein.)
@T.Zaborniak Das klassische Drehmoment ist das, was ich in meiner Antwort geschrieben habe, und wenn Sie das Skalarprodukt davon nehmen N → = D S → / D T mit der Richtung z ^ von B → , Sie können sehen, dass S z ist zeitunabhängig.
Ich verstehe Ihre klassische Erklärung immer noch nicht genau. Ich denke das schriftlich S z was meinen Sie L z , Wo L z ist der klassische Drehimpuls in der z -Richtung und durch S → Du meinst den klassischen Drehimpuls. Wenn das der Fall ist, ist das nicht notwendig L z wann ändern T geht von T < 0 Zu T > 0 haben | D L → / D T | eine Konstante bleiben? Die Größenordnung von L → natürlich müsste es gleich bleiben, aber weil es so ist L z z ^ , seine Richtung müsste sich ändern ...
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