Welche Form hat das Detektormuster in einem Stern-Gerlach-Experiment mit einer Strahlquelle (statt einem Fächer)?

$\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}$Wie Sie selbst sagen, „mischen sich Intuition und QM selten“, und genau das ist die Quelle Ihres Missverständnisses. Wenn das magnetische Moment$\vec{μ_S}$waren in der Tat ein klassischer wohldefinierter 3D-Vektor, der klassisch mit einem Magnetfeldgradienten interagierte.

Aber das magnetische Moment von Silberatomen ist quantifiziert und ist ein Spin$½$, und daher kann jede Messung dieser Größe nur zwei Werte annehmen,$±μ_S$. Die Wahrscheinlichkeit, jeden Wert zu erhalten, würde vom ursprünglichen Zustand abhängen.

Schauen wir uns den Quantenzustand an, der dem klassischen Vektor entspricht$\vec{μ_S}$entlang der Richtung orientiert$(θ,φ)$:

$$\begin{align} \vec{μ_S}&=μ_S\begin{bmatrix}\sin θ \cosφ\\\sin θ\sin φ \\\cos θ\end{bmatrix}\\ \ket{\vec{μ_S}}&=\cos\tfrac{θ}{2}\ket{↑}+e^{iφ}\sin\tfrac{θ}{2}\ket{↓} \end{align}$$ Wo $↑$(Spin-Up) entspricht $θ=0$Und $↓$(Spin-down) zu $θ=π$. Jede Richtung im 3D-Raum entspricht zwar einem „anderen“ Quantenzustand, aber zwei Zustände sind orthogonal (im Quantensinn, dh im Hilbert-Raum), wenn sie einer diametral entgegengesetzten Richtung im 3D-Raum entsprechen ( $θ' = π-θ$Und $φ'=φ ±π$).

Angenommen, Sie bereiten einen polarisierten Nadelstrahl in einer wohldefinierten Richtung vor$(θ,φ)$, und dass der magnetische Gradient Ihres Stern-Gerlach-Apparats entlang der$z$Richtung teilt sich der Strahl entlang der$z$Richtung, mit einem Bruchteil$\left(\cos\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1+\cosθ}2$der Atome nach oben und ein Bruchteil$\left(\sin\tfrac{θ}{2}\right)^2=\tfrac{1-\cosθ}2$der nach unten gehenden Atome (und$φ$hat keinen Einfluss).

Wenn also der Strahl in einer davon abweichenden Richtung polarisiert ist$z$($θ∉\{0,π\}$), spalten sich die Atome in zwei verschiedene Punkte auf. Wenn der Strahl vollständig unpolarisiert ist, mitteln Sie über alle Winkel und finden eine 50:50-Aufteilung zwischen den beiden Punkten.

Wenn der Gradient nicht strikt entlang einer konstanten Richtung verläuft, wird die Berechnung schwierig, und wir können einige ausgefallene Interferenzeffekte haben.

bearbeiten, um Ihre "Bearbeitungs" -Frage zu beantworten: Als Messgerät projiziert der Stern-Gerlach-Apparat den Spin in die$\ket{↑},\ket{↓}$Basis, also wenn der Spin nicht mit dem ausgerichtet ist$z$-Achse, erzwingt die Ausrichtung. Dies geschieht tatsächlich durch Kopplung des Spins (entlang$z$) auf die physikalische Position des Atoms, die selbst durch Wechselwirkung mit der Umgebung oder spätestens mit der Messplatte projiziert wird.

Aus praktischer Sicht kann der Grund für die Verwendung eines breiten Flachstrahls so einfach sein, wie eine einfache Ausrichtung und eine anständige Rate zu erreichen, während das Signal nicht durch eine signifikante Dispersion in z-Richtung verwischt wird.

Keine Notwendigkeit, die Dinge zu verkomplizieren.

Aber was passiert mit Teilchen, die keinen z-ausgerichteten Spin haben?

Die Form ändert sich nicht, es ist die Dichte der Messungen, die die Form bildet, die sich ändert.

Verändert das SG-Gerät das Spinmoment des Teilchens?

Jemand kann mich korrigieren, wenn ich falsch liege, aber ich glaube nicht, dass es das tut.

Dies ist ein Thema, das Gegenstand großer Missverständnisse ist, die sogar so weit gehen wie Feynman. Es gibt keine Maschine, die einen Strahl (einen bleistiftförmigen Strahl) aus Silberatomen in zwei Bahnen aufteilt. Der Grund liegt auf der Hand. Man kann kein Magnetfeld aufbauen, dessen Stärke in Auf-Ab-Richtung variiert, ohne dass es gleichzeitig in xy-Richtung genauso stark variiert.

Der unpolarisierte Strahl aus Silberatomen wird tatsächlich zu einem Ring ausgebreitet. Der polarisierte Strahl macht etwas noch Interessanteres. Ich habe darüber vor ein paar Jahren in meinem Blog geschrieben: The Quantization of Spin Revisited