Warum haben Elektronen bei gleicher Wellenlänge weniger Energie als Photonen?

Für das Photon haben wir

$$E_\gamma = \frac{hc}{\lambda}$$ und für das Elektron $$E_e = \frac{h^2}{2m\lambda^2} =\frac{hc}{\lambda} \frac{h}{2mc\lambda} = E_\gamma \frac{h}{2mc\lambda}.$$ Sie können überprüfen, ob der Proportionalitätsfaktor dimensionslos ist. Sie fragen sich also, warum diese Menge kleiner als eins ist. Aber erinnere dich daran $$\frac{h}{\lambda} =p$$ wo $p$ist der Schwung. Was wir betrachten, ist wirklich (eine Hälfte) das Verhältnis $$\frac{pc}{mc^2} = \frac{mvc}{mc^2}$$ wo ich das vermutet habe $v \ll c$, das heißt, wir haben ein nicht-relativistisches Elektron. Dann erhalten wir das Ergebnis, das Sie in Ihrer Frage angegeben haben. Wenn wir andererseits diese Annäherung nicht machen, haben wir das Verhältnis $$\frac{pc}{mc^2} =\frac{mv\gamma c}{mc^2} = \frac{v\gamma}{c}$$ was unbeschränkt ist wann $v \to c$.

Sie könnten auch von Einstein argumentieren

$$E^2 = m^2 + p^2$$ (in Einheiten wo $c = 1$). Zum $m = 0$haben wir natürlich $E = p$. Wenn Sie eine Taylor-Entwicklung von machen $E$zum $m\neq 0$, $$E = m + \frac{p^2}{2m} + \ldots$$ Sie sehen, dass die kinetische Energie im Vergleich zur Energie eines masselosen Teilchens einen Faktor hat $p/m$(wie wir oben festgestellt haben). Das nichtrelativistische Regime liegt genau dann vor, wenn diese Menge klein ist, und wenn dies nicht der Fall ist, müssen wir Terme proportional zu einbeziehen $p^4/m^3$und höher, und wieder, dass die Energie für ein massives Teilchen größer sein kann als für ein masseloses Teilchen mit dem gleichen Impuls. Die Antwort auf Ihre Frage lautet also wirklich: weil Sie nichtrelativistische Teilchen betrachten.

Die Energie des Teilchens ist proportional zur Schwingungsfrequenz seiner Wellenfunktion,$E=h\nu$. Ein Photon bewegt sich immer mit der Geschwindigkeit$c$, ihre Wellenlänge hängt also wie bei einer Wanderwelle üblich mit der Frequenz zusammen,$\lambda = c/\nu = hc/E$.

Ein massives Teilchen bewegt sich langsamer als das Photon, daher ist seine Wellenlänge bei gleicher Energiemenge kürzer. Naiv könnten wir vermuten, dass sich ein Teilchen mit hoher Geschwindigkeit bewegt$v$hätte$\lambda = hv/E$als seine Wellenlänge. Dies ist nicht korrekt, weil es die Relativitätstheorie nicht berücksichtigt, aber es kann Ihnen eine Vorstellung davon geben, warum die Wellenlänge für ein Teilchen mit Masse kürzer ist.

Um die richtige Beziehung zu erhalten, müssen wir die relativistische Energie des Teilchens berücksichtigen. Nach der speziellen Relativitätstheorie ist die Energie tatsächlich$E = \sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}$. Für ein ruhendes Teilchen ist dies das berühmte$E=mc^2$. Die kinetische Energie ist die Differenz zwischen der Gesamtenergie und der Ruheenergie (Massenenergie).

Für ein Photon ist die gesamte Energie kinetisch, weil es keine Masse hat. Für ein nicht-relativistisches Elektron mit Impuls$p \ll mc$, können wir eine Taylorentwicklung verwenden, um einen ungefähren Ausdruck für die kinetische Energie zu erhalten.

$$\begin{align} KE &= \sqrt{m^2c^4 + p^2c^2}-mc^2\\ &\approx mc^2\left(1+{1 \over 2}{p^2c^2 \over m^2c^4 }\right)-mc^2\\ &={p^2 \over 2m} \end{align}$$

Die DeBroglie-Wellenlänge hängt mit dem Impuls zusammen$\lambda =h/p$, und stecken Sie es ein, wir erhalten die Formeln, nach denen Sie gefragt haben.

$$\begin{align} E_{\mathrm{photon}} &= {hc \over \lambda}\\ E_\mathrm{electron} &= {h^2 \over 2m\lambda^2} \end{align}$$

Eine etwas andere Sichtweise ist die folgende. Beachten Sie zunächst, dass die vom OP angegebenen Formeln an sich nicht die Möglichkeit ausschließen, dass das Elektron dieselbe oder eine größere Energie als ein Photon derselben Wellenlänge hat. In der Tat, für klein genug$\lambda$die nichtrelativistische Formel$E = h^2/(2m \lambda^2)$sagt voraus, dass das Elektron eine größere Energie als das Photon hat. Die "kritische" Wellenlänge$\lambda_c$wo die Überkreuzung stattfindet, wird durch Gleichsetzen der beiden Ausdrücke gefunden, gebend

$$\frac{hc}{\lambda_c} = \frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_c \approx \frac{h}{mc},$$ den Faktor 2 vernachlässigt. Aber diese Größe hat noch eine andere Bedeutung: Es ist die Compton-Wellenlänge. Dies ist die Wellenlänge, bei der die kinetische Energie des Elektrons ungefähr gleich seiner Ruhemasse ist: $$\frac{h^2}{2m\lambda_c^2} \approx m c^2.$$ Oberhalb dieser Energie beginnt die spontane Erzeugung von Elektron-Positron-Paaren wichtig zu werden. Daher verliert das nichtrelativistische Konzept eines "einzelnen Elektrons" seine Bedeutung, sobald die Energie mit einem Photon der gleichen Wellenlänge vergleichbar wird.