Warum sind die Energieniveaus eines einfachen harmonischen Oszillators gleich beabstandet?

Ja. Es gibt eine einfache Erklärung.

Der klassische harmonische Oszillator hat eine wohldefinierte Frequenz$\omega$, unabhängig von Anfangsbedingungen. Dies kann nur geschehen, wenn das Quantensystem genau gleich beabstandete Energien mit Lücke hat$\hbar \omega$.

Der Grund dafür ist, dass Bewegung in einem Quantensystem nur stattfinden kann, wenn mehr als ein Energieniveau besetzt ist. Die Frequenz der Bewegung wird dann durch die Energiedifferenz der unterschiedlich besetzten Energieniveaus bestimmt. Also wenn jede klassische Trajektorie die gleiche Frequenz hat$\omega$, dann muss jede Kombination von Quantenzuständen auch Frequenzunterschiede haben, die ein Vielfaches von sind$\hbar\omega$.

Das Argument kann noch verfeinert werden, indem man über die Existenz von kohärenten Zuständen und halbklassischen Überlagerungen im Quantensystem nachdenkt, aber das grundlegende Argument ist wie oben.

Das umgekehrte Argument kann auch verwendet werden, um zu schließen, dass das Wasserstoffatom keine gleichmäßig beabstandeten Energieniveaus haben wird, da die Bewegungsfrequenz in einem Columb-Potential von den Anfangsbedingungen abhängt.

Ich könnte das ordentliche Phasenraum-Argument von Royers pädagogischem Papier von 1996 genauso gut zusammenfassen , da es so kurz und Standard für das Phasenraumverhalten des QHO ist und die anderen Antworten es nicht verwendet haben.

Der wesentliche Punkt ist, dass sowohl klassisch als auch quantenmechanisch die Zeitentwicklung des Oszillators eine starre Rotation im Phasenraum ist , wie 1946 von Groenewold entdeckt wurde.

Das heißt, dass, genau wie in der klassischen Evolution, jede Quantenkonfiguration durch den Hamiltonian gleichmäßig im Phasenraum gedreht wird. Indem alle Konstanten in die Variablen aufgenommen werden, um elliptische Trajektorien in Kreise umzuskalieren, präsentiert sich der Hamiltonian (klassisch und Quanten) als

$$H=\tfrac{1}{2} (p^2+x^2).$$ Folglich beläuft sich die Wirkung des Hamilton-Operators auf jede Phasenraumkonfiguration, klassische Liouville-Dichte oder Wigner-Funktion, bemerkenswerterweise auf $$\{\{ H,f\}\}= \{ H,f\}= (x\partial_p- p\partial_x)~ f(x,p),$$ ohne weiteres als starre Rotation im Phasenraum zu erkennen , da hier ausnahmsweise die Quanten-Moyal-Klammern $$\{\{H,f\}\}=\left (H\left (x+{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{p} ~,~ p-{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right ) ~ f(x,p) -H\left (x-{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{p} ~,~ p+{i\hbar\over 2} \overrightarrow{\partial }_{x}\right ) ~ f(x,p)\right )/i\hbar$$ zu klassischen Poisson-Klammern (!) zusammenbrechen.

Die starre Rotation um einen Kreis hat natürlich ganzzahlige Eigenwerte, da ihre Winkeleigenfunktionen einwertige Exponentiale sind. Dies ist ein Merkmal sowohl des Liouville-Operators als auch des QM-Hamiltonoperators.

Die Fourier-Modi des klassischen Propagators beinhalten auch ganzzahlig beabstandete Energieniveaus, aber in der klassischen Mechanik ist diese Art der Trennung von Variablen nicht notwendig oder nützlich. Standard-Phasenraum-QM-Überprüfungen lösen das Radial weiter$\star$-genvalue stationäre Gleichung (eine Laguerre-Gleichung, keine Hermite-Gleichung!), um zu bestätigen, dass die Eigenwerte notwendigerweise ganzzahlig beabstandet sind, wie hier gezeigt.

Beachten Sie, dass das integrale Eigenwertspektrum nicht nur eine Folge der Phasenraum-U(1)-Symmetrie ist: Es ist ein Merkmal des Hamilton-Operators, der selbst der eigentliche Generator von Rotationen ist! Ein Hamiltonian wie z$(p^2+x^2)^a_\star$entsprechend der a -ten Potenz des Hilbert-Raumoszillators wäre der Hamilton-Oszillator unter xp - Drehungen immer noch symmetrisch, hätte aber ein Spektrum von$(n+1/2)^a$, selbstverständlich.

Das Argument beweist leider nicht die Einzigartigkeit dieses Hamilton-Operators für dieses Spektrum, aber eine vernünftige Annahme angesichts eines solchen Spektrums ist die Existenz einer Karte, die die Äquivalenz des glücklichen Hamilton-Operators mit der des obigen Oszillators beweist.

Dies ist wahrscheinlich keine physikalische Erklärung, aber es lohnt sich, die Besonderheit des harmonischen Oszillators zu verfolgen, der in der Quantenmechanik zu gleich beabstandeten Energieniveaus führt.

$\bullet$ Ein Hamiltonoperator der Form$H=\hbar(a^\dagger a+1/2)$führt zu gleichmäßigen Raumenergieniveaus .

$\bullet$Der Hamiltonoperator eines einfachen harmonischen Oszillators ist gegeben durch

$$H=\frac{1}{2}(p^2+x^2)$$ in Einheiten wo $m=\omega=1$. Sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie sind quadratisch. Immer wenn das Potential quadratisch ist, kann der Hamilton-Operator auf reduziert werden $$H=\hbar(a^\dagger a+1/2)$$ was nicht möglich ist, wenn das Potenzial $V(x)$ist nicht quadratisch.