Warum nicht ℏω/2ℏω/2\hbar\omega/2 aus der Energie des harmonischen Quantenoszillators entfernen?

Es hängt davon ab, was Sie tun, und tatsächlich lehnt der größte Teil der Quantenoptik-Literatur den Begriff ab, da er nicht zur Dynamik beiträgt. Es ist jedoch wichtig, dass Anfänger eine Intuition dafür entwickeln, wie und wo Nullpunktenergien ins Spiel kommen und warum sie notwendig sind.

Betrachten Sie die Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators im Ortsraum:

Beachten Sie insbesondere das Verhalten an den klassischen Wendepunkten, wo die Basislinien das Potenzial kreuzen. Dies sind die Wendepunkte der Wellenfunktionen, an denen das Schwingungsverhalten in einen exponentiellen Abfall übergeht. Auch für den Grundzustand müssen diese beiden Punkte räumlich getrennt werden, damit sich der exponentielle Abfall links in eine abnehmende Funktion umkehren und rechts in den exponentiellen Abfall übergehen kann, und damit diese beiden Punkte getrennt werden können die Energie der Grundzustand muss vom Boden des Brunnens getrennt werden. Dies ist die Essenz der Nullpunktenergie, und bis Sie alle Implikationen von „klassisch erlaubt“ und „klassisch verboten“ auf die Wellenfunktion verinnerlicht haben, ist es am besten, ausdrücklich daran erinnert zu werden, dass sie existiert.

Andererseits macht es wenig Sinn, diesen Begriff mit sich herumzuschleppen, sobald Sie das getan haben. Wenn Sie etwas tiefer in die Literatur eintauchen, werden Sie feststellen, dass die Leute anfangen, den Begriff in Umgebungen fallen zu lassen, in denen er nicht wichtig ist. Einige Beispiele:

• Das Jaynes-Cummings-Modell ,

• Das Dicke-Modell (z. B. Gleichung 6),

• Das Jaynes-Cummings-Hubbard-Modell ,

und viele, viele andere. Um einen guten Blick darauf zu werfen, was die Leute tatsächlich in der Literatur verwenden, würde ich empfehlen , auf dem arXiv nach „Quantum Harmonic Oscillator“ zu suchen . Dadurch werden viele Papiere auftauchen, die Sie nicht verstehen werden, aber es ist nicht so kompliziert, diejenigen zu verwerfen, die keine QHO-Hamiltonianer enthalten, und diejenigen zu unterscheiden, die Hamiltonianer der Form verwenden$\tfrac1{2m}p^2+\tfrac12 m\omega^2 x^2$von denen, die das Formular verwenden$\hbar\omega a^\dagger a$.

Es ist auch erwähnenswert, dass Sie den Begriff nicht immer fallen lassen können. Besonders in der Quantenfeldtheorie sieht man sich oft einem System gegenüber, das eine unendliche Ansammlung harmonischer Oszillatoren ist, für die Vakuumenergie sorgfältig behandelt werden muss. Auf einem anderen Zweig davon können Nullpunktsenergien messbare Auswirkungen haben, zum Beispiel durch den Casimir-Effekt , wobei Sie ihn natürlich nicht vernachlässigen können.

Betrachten Sie ein Potential, das näherungsweise durch zwei harmonische Oszillatoren mit unterschiedlichen Grundfrequenzen beschrieben werden kann (Arbeiten in dimensionslosen Einheiten).

Es wird aussehen

Betrachten wir nun zwei niedrigste Energiezustände des Hamiltonoperators

auf Bestimmtheit nehmen$m=50$, so dass die niedrigsten Energiezustände ausreichend tief sind. Nun kann am Ursprung des Oszillators links gezeigt werden, dass dies der Fall ist

Wenn zwei niedrigste Niveaus tief genug sind, dass sich ihre Wellenfunktion nicht überlappt, dann können wir sie als Eigenzustände von jedem der harmonischen Oszillatoren approximieren$U_L$und$U_R$. Sehen Sie, wie diese beiden Zustände aussehen:

Sie wollten Null der Gesamtenergie entfernen, indem Sie das Potenzial verschieben. Natürlich könnten Sie dies auch für einen einzelnen Oszillator tun. Aber jetzt müssen Sie auswählen, welche Sie verwenden möchten. Und wenn Sie einige auswählen, erhalten Sie immer noch Nullpunktenergie für einen anderen.

Daher ist dieser Trick nicht wirklich nützlich. Es versucht nur, ein wesentliches Merkmal des harmonischen Quantenoszillators und der Quantenzustände im Allgemeinen zu verbergen: In gebundenen Zuständen gibt es eine niedrigste Energiegrenze, die vom Quantensystem nicht überwunden werden kann, obwohl die Energie klassischerweise niedriger sein könnte.

Die Nullpunktsenergie ist die Differenz zwischen minimaler Gesamtenergie und minimaler potentieller Energie. Es kann nicht durch Verschieben der potentiellen Energie "fallen gelassen" werden.

Dem stimme ich nicht zu:

Da Energie immer um einen konstanten Wert verschoben werden kann, ohne etwas zu ändern,

Sie denken vielleicht an klassische potentielle Energie, aber die Masse eines Protons ist beispielsweise fest, kann nicht um einen konstanten Wert verschoben werden und ruht$E=mc^2$. Diese Aussage ist nicht allgemein und kann nur für die Lösungen nichtrelativistischer Gleichungen gelten.

Bearbeiten nach Kommentaren:

Nach den Kommentaren wurde mir klar, dass es bei der Frage um eine Änderung des Energienullpunktes geht, die sich nicht auf die Energieniveaus, sondern auf die y-Achse des Potentials auswirken würde, die einen negativen unteren Punkt erhalten würde, sodass das erste Energieniveau bei 0 liegt.

Diese Änderung würde nur einen Gesamtphasenfaktor (siehe Antwort von dextercioby) in die zeitabhängigen Lösungen einführen.

Der harmonische Oszillator ist eine sehr nützliche quantenmechanische Lösung, da alle symmetrischen Potentiale als ersten Term in ihrer Reihenentwicklung das x**2 haben. Daher wird es bei den meisten Körperproblemen in der Chemie ausgiebig verwendet, und nicht nur, um die verschiedenen kollektiven Potentiale zu modellieren, die in Gittern entstehen.

Der Grund ist dann Einfachheit und Ästhetik, keine zusätzliche Komplexität in Form des Potentials einzuführen, so dass die generische Gleichung durch die einfachste funktionale Form des Potentials, x**2, beschrieben wird.