Nullpunktschwankung eines harmonischen Oszillators

In einer Arbeit stieß ich auf die folgende Definition der Nullpunktschwankung unseres Lieblingsspielzeugs, des harmonischen Oszillators:

X Z P F = ℏ 2 M Ω
wobei m seine Masse ist und Ω seine Eigenfrequenz. Wenn ich jedoch versuche, es mit einfachen Argumenten abzuleiten, denke ich an die Gleichheit:
E = 1 2 ℏ Ω = 1 2 M Ω 2 X Z P F ²
(unter Verwendung des Energieeigenwerts der N = 0 Zustand) gibt mir:

X Z P F = ℏ M Ω
unterscheidet sich von der vorherigen um einen Faktor 2 . Ich bin nur ratlos, ist es eine Sache der Konventionen oder steckt in meiner (zu?) naiven Herleitung ein grundlegender Irrtum?

Wenn Sie einfache Dimensionsschätzungen vornehmen, sollten Sie nicht erwarten, dass die numerischen Faktoren richtig ausfallen!
Ja, aber ich habe versucht, mehr als eine einfache Dimensionsanalyse zu machen, ich habe eine Gleichheit zwischen der Energie des Vakuums und der oszillierenden Energie eines harmonischen Oszillators aufgeschrieben < X 2 >= X Z P F 2 wann ich hätte nehmen sollen < X 2 >= 2 X Z P F 2 Meine Frage ist also wieder, kommt es von einer Konvention oder ist es körperlich motiviert?
Das Aufschreiben einer Gleichheit zwischen der Energie des Vakuums und der Schwingungsenergie eines harmonischen Oszillators ist nichts anderes als eine Dimensionsanalyse. Ich hoffe, Sie würden mir zustimmen, dass Sie im Prinzip die Schrödinger-Gleichung lösen sollten, um die Grundzustands-Wellenfunktion zu finden! Wenn Sie das tun, finden Sie den Ausdruck für ⟨ X 2 ⟩ mit allen numerischen Vorfaktoren.
Ich stimme Fabian zu: Sie können jeden gewünschten Erwartungswert aus der Wellenfunktion (Hermite-Polynom) für Ihren gewählten Zustand erhalten. Auch, wenn Sie verwendet haben 1 2 M Ω 2 X z P F 2 für die Energie, hast du nicht den kinetischen Term im Hamiltonoperator ignoriert?
Ja, aber die Gleichverteilung besagt, dass die Energie im Durchschnitt zwischen der potentiellen und der kinetischen verteilt ist. Also sollte ich einen Faktor 1/2 davor setzen, wenn ich aus einem unbekannten Grund einen Faktor 2 hinzufügen sollte, um die richtige Formel zu erhalten.
Ich denke, eine Sichtweise ist die folgende: Wenn Sie den kinetischen Begriff hinzufügen M v 2 / 2 = M ( Ω X z P F ) 2 / 2 zu Ihrer potenziellen Energie bekommen Sie, was Sie wollen.

Antworten (2)

Ich denke, das ist eine Kombination aus einer Konvention und einem körperlichen Problem. Sie setzen den Energieeigenwert (dh die Gesamtenergie) mit einem Ausdruck gleich, der nur enthält X Z P F , und enthält nicht P überhaupt. Mit anderen Worten, Sie setzen die Gesamtenergie einer potentiellen Energie gleich. Dies wäre analog zum Gleichsetzen E T Ö T A l = 1 2 k A 2 um die Amplitude zu finden A eines klassischen harmonischen Oszillators. Das Ergebnis ist, dass Sie verwenden X Z P F die "Amplitude" der Nullpunktschwankung bedeuten. Das wahre Ergebnis, wie aus der Antwort von Ondrej Cernotik hervorgeht, verwendet den Effektivwert X Z P F = ⟨ X ^ 2 ⟩ . Das ist also der Sinn, in dem es eine Konvention ist.

Insofern ist es ein echtes physikalisches Problem, dass die "Amplitude" eines Quantenoszillators nicht wirklich eine genau definierte, messbare Sache ist. Der Quantenoszillator hat eine Wahrscheinlichkeitsamplitude ungleich Null, die bis ins Unendliche reicht. Der Effektivwert ist gut definiert und einfach zu messen. Das ist also die bevorzugte Definition.

Man könnte auch argumentieren, dass bei der Definition von Nullpunktschwankungen in Bezug auf die Varianz der Position der Wert kleiner als die Amplitude sein wird. Ich wette, Sie würden feststellen, dass die Varianz (oder ihre Quadratwurzel) genau sein wird 2 mal kleiner.
@OndřejČernotík, das ist auch meine Vermutung. Ich weiß, dass dies beim klassischen Oszillator der Fall ist, und ich vermute, jemand könnte es für den Quantenoszillator beweisen. Ich war von dieser Behauptung nicht überzeugt genug, um sie in meine Antwort aufzunehmen, aber ich könnte sie hinzufügen, nachdem ich eine Weile darüber nachgedacht habe.

Sie können den Wert von Nullpunktschwankungen finden, indem Sie einfach die Varianz berechnen ⟨ ( Δ X ^ ) 2 ⟩ = ⟨ X ^ 2 ⟩ im Vakuumzustand. Sie können dies entweder mit der X -Darstellung oder Ausdruck der X ^ Operator, der Erstellungs- und Vernichtungsoperatoren verwendet. Diese werden in der Regel von eingeführt

A ^ = M Ω 2 ℏ ( X ^ + ich P ^ M Ω ) ,
damit du bekommst
X ^ = ℏ 2 M Ω ( A ^ + A ^ † ) .
Mit dieser Berechnung ⟨ X ^ 2 ⟩ = ⟨ 0 | X ^ 2 | 0 ⟩ gibt dir wirklich
X Z P F = ⟨ X ^ 2 ⟩ = ℏ 2 M Ω .

Nullpunktschwankung eines harmonischen Oszillators
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