Warum sind harmonische Oszillatoren quantisiert? [geschlossen]

Welchen physikalischen Grund gibt es dafür, dass eine Masse auf einer Feder diskrete Energieniveaus hat? Und warum sind diese Energieniveaus gleich beabstandet, dh warum? E   a   F ?

Persönlicher Hintergrund und Erläuterung:
Ich bin Student im 2. Studienjahr. Ich habe einen QM-Kurs belegt, daher weiß ich, warum Dinge wie "Particle-in-a-Box" quantisiert werden (oder zumindest kann ich akzeptieren, dass sie es sind).

Jetzt bin ich in Thermo, und wir reden immer wieder über Oszillatoren mit diskreten, gleichmäßig verteilten Energieniveaus. Aus den Kommentaren entnehme ich, dass es keine klassische Erklärung dafür gibt, dass eine Masse auf einer Feder diskrete Energieniveaus hat.

Meine Frage lautet dann, ausgehend von "QM ist richtig", wie kommen wir zu "Oszillatoren haben diskrete, gleichmäßig beabstandete Energieniveaus? Könnte es damit zu tun haben, wie der Potentialtopf für einen Oszillator quadratisch ist (im Gegensatz zu dem eines a Partikel in einer Box, die quadratisch ist)?

keine Notwendigkeit klassisch. quantenmechanisch, dh Dimensionen entsprechend h, erfordern es die Postulate der Quantenmechanik .
Willkommen bei Physics Stack Exchange! Dies ist eine sehr breite Frage, die im Wesentlichen fragt: "Warum hat die Quantenmechanik Recht?" oder zumindest "leiten Sie bitte die Ergebnisse des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik ab". Wir verlangen im Allgemeinen, dass Fragen weniger weit gefasst sind, insbesondere in Fällen, in denen die Antwort in gemeinsamen Referenzen wie Lehrbüchern diskutiert wird.
Eine makroskopische Masse auf einer makroskopischen Feder hat selbst im Prinzip keine quantisierten Energieniveaus, weil sie nicht lange genug kohärent bleibt. Quantenoszillatoren sind quantisiert und ihre Beschreibung ist ein routinemäßiger Bestandteil jedes Quantenphysikkurses. Wenn Sie interessiert sind, müssen Sie losgehen und sich darüber informieren. Die Beschreibung der Details hier würde eine Antwort in der Länge einer Rezension erfordern.
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/39208/2451 und darin enthaltene Links.
Bearbeitet. Ist es eng genug, um aus der Warteschleife genommen zu werden? Wenn nicht, was wird noch benötigt?

Antworten (1)

Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall wo M = ω = 1 (Wo M ist Masse u ω Frequenz ist), so dass der Hamiltonian ist

H = P 2 2 + Q 2 2
Setzen
A = 1 2 ( P + ich Q ) B = 1 2 ( P − ich Q )
so dass
A B = H − ℏ / 2 B A = H + ℏ / 2

Überprüfen Sie daraus, ob H ϕ = λ ϕ ( λ ein Skalar) dann

H ( A ϕ ) = ( λ + ℏ ) ϕ H ( B ϕ ) = ( λ − ℏ ) ϕ

Also wenn λ ein Eigenwert ist, also sind λ + ℏ (es sei denn A ϕ = 0 ) Und λ − ℏ (es sei denn B ϕ = 0 ).

Überprüfen Sie als Nächstes, ob λ ist dann ein Eigenwert λ + ℏ / 2 nichtnegativ ist und genau dann null ist, wenn A ϕ = 0 ( ϕ ein entsprechender Eigenvektor ist). (Tipp: Verwenden

0 ≤ ( A ϕ , A ϕ ) = ( ϕ , B A ϕ )
und verwenden Sie die obige Formel für B A ). Überprüfen Sie in ähnlicher Weise, ob λ ist dann ein Eigenwert λ − ℏ / 2 nichtnegativ ist und genau dann null ist, wenn B ϕ = 0 . (**)

Daraus lässt sich leicht schließen, dass, wenn Sie einen beliebigen Eigenwert wählen λ , dann alle

λ + k ℏ ≥ 0
ist auch ein Eigenwert ( k eine ganze Zahl), dass der kleinste Eigenwert ist ℏ / 2 , dass also jeder ℏ / 2 + k ℏ ist ein Eigenwert ( k eine positive ganze Zahl).

Es bleibt zu zeigen, dass dies die einzigen Eigenwerte sind. Vermuten μ waren ein Eigenwert, der nicht auf der Liste steht, mit entsprechendem Eigenvektor ψ . Dann (durch (**)) B k ψ ist niemals Null ( k eine positive ganze Zahl), so dass Sie eine unendliche abnehmende Folge von gleichmäßig verteilten Eigenwerten erhalten, also negative Eigenwerte, Widerspruch.

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