Ist die Energie immer diskret?

In den von Neumann-Axiomen für die Quantenmechanik besagt das erste Postulat, dass ein Quantenzustand ein Vektor in einem trennbaren Hilbert-Raum ist. Es wird also angenommen, dass der Hilbert-Raum eine Basis mit höchstens unendlich zählbaren Elementen (Kardinalität) hat. Mit anderen Worten, es besagt, dass die Energie eines beliebigen Systems diskret ist. Ist es immer wahr? Wenn nicht, können Sie ein konkretes Beispiel in der Natur geben, dass ihre Eigenenergien nicht zählbar sind?

Das Spektrum linearer Operatoren enthält sowohl diskrete als auch kontinuierliche Mengen, sodass Energieeigenwerte diskret und kontinuierlich sein können (siehe Wasserstoffspektrum). Sobald Sie diese Systeme mit den Vakuumfeldern koppeln, werden alle Spektren, sogar Linienspektren, kontinuierlich.
@CuriousOne das ist eigentlich ein Taschenspielertrick
@brucesmitherson: Überhaupt nicht. Das eine ist ein wichtiges Ergebnis der linearen Operatortheorie, das andere ist die physikalische Realität: Es gibt keine Systeme mit unendlichem Q und es kann keine Systeme geben.
Ich spreche hier von "klassischer" Quantenmechanik, ich habe Ihren Kommentar vielleicht falsch verstanden, aber wenn ja, wird es für das OP zu kryptisch sein
@brucesmitherson: Selbst in der nichtrelativistischen Quantenmechanik koppelt der Atomzustand an das elektromagnetische Feld und aufgrund des dritten Hauptsatzes der Thermodynamik hat dieses Feld eine endliche Temperatur. In beiden Theorien und schon gar nicht in der realen Phänomenologie kann man der endlichen Linienbreite atomarer Übergänge entkommen.
@CuriousOne siehe, dein Kommentar war zu kryptisch, ich habe ihn total verpasst. Ich glaube also, dass wir uns einig sind, dass ein kontinuierliches Spektrum unphysikalisch ist?
oder ich habe in xsmass zu viel getrunken
@brucesmitherson: Es ist umgekehrt: Es gibt keine diskreten Spektren. Das ist jedoch eine gute Annäherung für Übergänge mit sehr schmaler Linienbreite. Wie bei allem anderen in der Physik wählen Sie Ihre Annäherung, die für die Genauigkeit Ihrer Messungen geeignet ist. Wenn Ihr Spektrograph eine niedrige Auflösung hat, sehen Sie Linienspektren, bei einer hohen Auflösung sehen Sie durchgehende Linien. In einigen Fällen ist die Linienbreite so klein, dass sie zur Referenz für alle anderen Zeit-/Frequenzmessungen wird, das sind die Systeme, die wir in Atomuhren verwenden. Diese Uhren haben immer noch endliche Q-Resonatoren.
@CuriousOne Dann habe ich zu viel getrunken, werde ich morgen nachsehen :)
@CuriousOne ja. Das Spektrum linearer Operatoren kann stetig sein. Können Sie in der „Natur“ ein konkretes Beispiel dafür geben, dass ihre Energie kontinuierlich ist?
Die Energie des freien Teilchens ist kontinuierlich, ebenso wie das Spektrum jedes Atoms, Moleküls usw. über die Ionisierungsenergie hinaus. Die Elektronen in Metallen besetzen ein im Wesentlichen kontinuierliches Spektrum usw.
@CuriousOne Ich sehe heute klarer! netter Punkt, ich habe nicht so darüber nachgedacht, aber es scheint gegen alle anderen Antworten zu sein (siehe vorheriger Link). Vielleicht sollten Sie es als Antwort posten, damit es von einem breiteren Publikum bewertet oder kommentiert werden kann.

Antworten (1)

Ein Gegenbeispiel ist so einfach wie trivial:

Das freie Teilchen hat seit dem Hamilton-Operator ein vollständig kontinuierliches Energiespektrum H = P 2 2 M hat [ 0 , ∞ ) als sein Spektrum (dies folgt direkt aus P mit vollständig kontinuierlichem Spektrum ( − ∞ , ∞ ) . Der Grund, warum dies den Spektralsatz / die Zählbarkeit der Basis des Hilbert-Raums nicht verletzt, ist, dass dies der Fall ist H ist ein unbeschränkter Operator, und die "Eigenzustände" | P ⟩ (welche sind ψ P ( X ) = e ich P X in der Positionswellenfunktionsdarstellung) befinden sich nicht innerhalb des Hilbert-Raums (beachten Sie das nur ψ P ( X ) ist nicht quadratintegrierbar R um zu sehen, dass es nicht im kanonischen Raum der Ortswellenfunktionen liegt L 2 ( R , D X ) ). Nur Wellenpakete , also quadratintegrierbare Überlagerungen der ebenen Wellen ψ P ( X ) , liegen innerhalb des Hilbert-Zustandsraums.

Tatsächlich sind die zu stetigen Eigenwerten gehörenden „Eigenzustände“ niemals „normierbar“, vgl. diese phys.SE-Frage , und damit befinden sich Vektoren niemals im eigentlichen Hilbert-Raum, sondern nur im größeren Raum des sogenannten manipulierten Hilbert-Raums , vgl. diese phys.SE-Frage

Ein weiteres Gegenbeispiel wäre das Wasserstoffatom, bei dem die Energien oberhalb einer bestimmten Schwelle kontinuierlich sind und wiederum im Wesentlichen freie Zustände sind.

Danke für deine klare Antwort. Dein letztes Gegenbeispiel habe ich nicht verstanden. Die Energien der Wasserstoffatome sind diskret, nicht wahr?
@KNO: Die gebundenen Zustandsenergien sind diskret. Aber es gibt ein Kontinuum freier (oder "streuender") Zustände (oder eher Eigenwerte, da die zugehörigen Dinge streng genommen keine Prober-Zustände sind) oberhalb der "Ionisationsenergie", siehe diese phys.SE-Frage für eine Einführung und weiter Verweise.
Ist die Energie immer diskret?
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