Ich mache mein erstes Semester in Quantenmechanik und wir verwenden Griffiths Introduction to Quantum Mechanics. Als er das Potential der Dirac-Delta-Funktion einführt, erklärt er gebundene und streuende Zustände, und ich verstehe, dass ein System als gebunden gilt, wenn die Energie des Systems kleiner als das Potential im Unendlichen ist
Das macht Sinn, und er fährt dann fort, indem er sagt, dass dies das impliziert für gebundene Zustände und für Streuzustände, da Sie der potentiellen Energie immer eine Konstante hinzufügen können, um sie im Unendlichen zu Null zu machen.
Er erklärt auch, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung für gebundene Zustände eine diskrete Linearkombination ist und die Lösung für Streuzustände ein Integral ist, das nicht normalisiert werden kann und daher nicht existiert. Er fährt dann mit dem Potenzial der Dirac-Delta-Funktion unvermindert fort.
Das Problem, das ich habe, ist, wie ich dies mit dem vorherigen Kapitel in Einklang bringen kann, in dem er den harmonischen Oszillator - ein gebundenes System - behandelte und die Energieniveaus fand
was positiv ist, obwohl das Potential bei Unendlich ins Unendliche geht. Ich nehme an, Sie könnten "unendlich subtrahieren" und eine unendlich negative Energie (und ein 0-Potenzial bei unendlich) erhalten, aber das ist bestenfalls etwas seltsam. Teil 1 der Frage: Ist das alles? „Subtrahiere unendlich“ und dann die zweite Ungleichung ( ) funktioniert?
Teil 2 der Frage: Da unendliche Potentiale nur Annäherungen sind und nicht wirklich existieren (oder doch?), wie können gebundene Zustände jemals existieren (Griffith bemerkt, dass endliche Potentiale durch Tunneln überwunden werden können)? Außerdem existieren auch keine Streuzustände, da ihre Wellenfunktionen nicht normierbar sind. Die Schlussfolgerung ist also, dass laut Quantenmechanik nichts wirklich existiert ... was doch nicht stimmen kann, oder?
Die Unterscheidung, die hier gemacht werden muss, ist, dass es für das harmonische Quantenoszillatorsystem keine ungebundenen Zustände gibt , sondern nur gebundene Zustände, daher gibt es keinen Vorteil darauf zu bestehen, dass die Zustände negative Energie haben, keinen Grund, „unendlich“ zu subtrahieren, um Null zu erhalten das Potential im Unendlichen.
In Systemen, die sowohl gebundene als auch ungebundene Zustände zulassen, ist es jedoch sinnvoll, das Potential aus dem gleichen Grund, aus dem wir dies klassisch tun, auf unendlich zu nullen.
Zum Beispiel gibt es beim klassischen Zentralkraftproblem einen Zustand, in dem ein Teilchen "in die Unendlichkeit entkommen" kann, wo es eine kinetische Energie von Null hat (genauer gesagt, die kinetische Energie des Teilchens nähert sich asymptotisch Null). Wenn wir die potentielle Energie im Unendlichen auf Null setzen, dann ist die Gesamtenergie „im Unendlichen“ Null. Somit „sitzt“ das Teilchen mit der Gesamtenergie null auf der Grenze zwischen den Teilchen, die nicht genug Energie haben, um die Unendlichkeit zu „erreichen“, und denen, die dies tun.
Aber für das Potential des klassischen harmonischen Oszillators kann kein Teilchen ins Unendliche entweichen. Die kinetische Energie des Teilchens wird periodisch und sofort Null sein. In diesem Fall ist es sinnvoll, dass der Zustand, in dem die Gesamtenergie immer gleich der potentiellen Energie ist (der Zustand, in dem die kinetische Energie immer null ist), der Zustand mit null Gesamtenergie ist; alle anderen Zustände haben eine positive Gesamtenergie.
Die Schlussfolgerung ist also, dass laut Quantenmechanik nichts wirklich existiert ... was doch nicht stimmen kann, oder?
Das ist nicht im Entferntesten die richtige Schlussfolgerung. Man könnte stattdessen darauf schließen
(1) Der Begriff des gebundenen Zustands muss beim Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik modifiziert werden
(2) die physikalischen (normierbaren) ungebundenen Zustände sind keine Eigenzustände des Hamiltonoperators, dh die physikalischen ungebundenen Zustände sind keine Zustände bestimmter Energie, sondern stattdessen eine Verteilung von Energie-Eigenzuständen, z. B. ein Wellenpaket.
Teil 1. Im Wesentlichen hast du Recht. Sie können sich das so vorstellen, als würden Sie die Unendlichkeit von der Energie subtrahieren. Eine bessere Sichtweise ist, dass die Konvention, dass der Nullpunkt der Energie dem Potential im Unendlichen entsprechen sollte, immer eine willkürliche Wahl war. Normalerweise ist dies eine sehr vernünftige Konvention, aber wenn das Potential im Unendlichen divergiert, wie es beim harmonischen Oszillator der Fall ist, wäre eine andere Wahl eindeutig besser. In der Praxis verwenden wir normalerweise harmonische Oszillatoren als Annäherungen an komplexere Potentiale, die nicht divergieren, und dies funktioniert oft ziemlich gut, da wir verlangen, dass die Wellenfunktion sowieso im Unendlichen auf Null geht.
Teil 2 Gebundene Zustände sind definiert als jene Zustände mit einer niedrigeren Energie als ein freies Teilchen in einem gegebenen Potential. Ein Teilchen kann ohne Energiezufuhr nicht von einem gebundenen Zustand in einen Kontinuumszustand übergehen. Wenn ich ein isoliertes Wasserstoffatom habe, kann das Elektron nicht spontan aus dem Proton austreten, weil dies seine Energie erhöhen würde.
Quantentunneln tritt auf, wenn es zwei Bereiche mit niedrigem Potenzial gibt, die durch einen Bereich mit hohem Potenzial getrennt sind, in den das Teilchen klassischerweise nicht eindringen würde. Dies kann ein Paar Potentialtöpfe oder zwei Bereiche des freien Raums sein, die durch eine Potentialbarriere getrennt sind (auf die sich Griffith bezog). Wenn ich also beispielsweise mein Wasserstoffatom habe und ein anderes Proton in die Nähe bringe, kann das Elektron von einem tunneln Proton zum anderen, obwohl es kein freies Teilchen werden konnte und so klassischerweise das Atom, an das es gebunden war, nicht verlassen konnte. Im Allgemeinen passiert in diesen Situationen mit mehreren Potentialmulden, dass sich das Teilchen in den stationären Zuständen in einer Überlagerung befindet, indem es in beiden Mulden ist. Das passiert, wenn sich eine kovalente Bindung bildet.
Jessica Hansen