Entartung von Zuständen im gemischten unendlichen quadratischen Brunnen, harmonischer Oszillator

Dies scheint nach einem Ansatz der Trennung von Variablen zu schreien . Zusätzlich zu diesen Links finden Sie es in jedem Buch über mathematische Methoden in der Physik oder in jedem einigermaßen fortgeschrittenen Buch über Differentialgleichungen.

Die kurz-kurz-Version ist, dass Sie Ihre Lösung in Teilen schreiben, die nur von den unabhängigen Bits abhängen

$$\Psi(x,y,z) = W(x,y) Z(z)$$

und nachdem Sie die partiellen Ableitungen angewendet haben, werden Sie feststellen, dass Sie zwei viel einfachere Gleichungen haben, mit denen Sie arbeiten können.

Der Hamiltonian ist

$$H=-\frac{\hbar^2}{2m}\vec{\nabla}^2 + V(\vec{r}) = \sum_{j=1}^3 H_{x^j},$$

mit Potenzial

$$V(\vec{r}) = V_x(x) + V_y(y) + V_z(z),$$

Wo

$$V_x(x)= \left\{\begin{array}{ccc} 0 &\mathrm{for}& |x|<\frac{L}{2} \\ \infty &\mathrm{for}& |x|\geq \frac{L}{2}\end{array}\right\},$$ $$V_y(y)= \left\{\begin{array}{ccc} 0 &\mathrm{for}& |y|<\frac{L}{2} \\ \infty &\mathrm{for}& |y|\geq \frac{L}{2}\end{array}\right\},$$ $$V_z(z)= \frac{m\omega^2}{2}z^2.$$

Beachten Sie, dass

$$H_{x^j}=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial^2_{x^j} + V_{x^j}(x^j)$$

hängt nur von einer Koordinate ab$x^j$, Wo$j=1,2,3$. Daher können wir, wie von dmckee vorgeschlagen, die Trennung der Variablen verwenden und zunächst die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung für drei wohlbekannte eindimensionale Probleme lösen. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die 3D-Energieniveaus$E_{\vec{n}}$wird eine Summe der 1D-Energieniveaus,

$$E_{\vec{n}} = E_{xy}(n^2_x+n^2_y)+E_z(n_z+\frac{1}{2}),$$

wobei die Zustände durch drei ganze Zahlen gekennzeichnet sind$\vec{n}=(n_x,n_y,n_z)$mit

$$n_x\geq 1,\qquad n_y\geq 1,\qquad \mathrm{and}\qquad n_z\geq 0,$$

Und

$$E_{xy}:= \frac{1}{8m} \left(\frac{h}{L}\right)^2 \qquad \mathrm{and}\qquad E_z :=\hbar\omega=hf$$

sind zwei Konstanten.

Beachten Sie, dass es einen Zustand pro Volumeneinheit gibt$\vec{n}$Raum. Für ausreichend große Energie$E$, Wo$E\gg E_{xy}$Und$E\gg E_z$, die Nullpunktsenergie$\frac{1}{2}E_z$und einige andere diskrete Merkmale werden irrelevant, und wir können die Gesamtzahl annähern$N(E_{\vec{n}}\leq E)$von Staaten$\vec{n}$mit Energie$E_{\vec{n}}\leq E$durch das Volumen von (einem Viertel) eines Paraboloids mit endlicher Höhe auf folgende Weise.

$$N(E_{\vec{n}}\leq E) \approx\mathrm{Volume}\left\{(n_x,n_y,n_z) \in \mathbb{R}^3_+\mid E_{xy}(n^2_x+n^2_y)+E_z n_z \leq E \right\}$$ $$= \int_0^{\frac{E}{E_z}} dn_z \ \mathrm{Area}\left\{(n_x,n_y) \in \mathbb{R}^2_+\mid n^2_x+n^2_y\leq \frac{E - E_z n_z}{E_{xy}}\right\}$$ $$= \int_0^{\frac{E}{E_z}} dn_z \ \frac{\pi}{4} \frac{E - E_z n_z}{E_{xy}} = \frac{\pi}{4E_{xy}} \left[E n_z - E_z \frac{n_z^2}{2} \right]^{n_z=\frac{E}{E_z}}_{n_z=0} = \frac{\pi}{8} \frac{E^2}{E_{xy}E_z},$$ wobei wir die Fläche einer Viertelscheibe mit Radius verwendet haben $r$Ist $\frac{1}{4}\pi r^2$. Also die Zustandsdichte $g(E)$bei Energie $E$ist dann ungefähr

$$g(E) = \frac{dN(E_{\vec{n}}\leq E)}{dE} \approx \frac{\pi}{4} \frac{E}{E_{xy}E_z}=g_0 E,$$

Wo

$$g_0 = \frac{\pi}{4E_{xy}E_z} =\frac{2\pi m L^2}{h^3f}$$

ist eine Konstante.