Entartung des zweidimensionalen harmonischen Oszillators

Betrachten wir ein Teilchen in einem zweidimensionalen harmonischen Oszillatorpotential mit Hamiltonian

H = P 2 2 M + M w 2 R 2 2
es kann gezeigt werden, dass die Energieniveaus durch gegeben sind
E N X , N j = ℏ ω ( N X + N j + 1 ) = ℏ ω ( N + 1 )
Wo N = N X + N j . Stimmt es dann, dass das n th Energieniveau hat Entartung N − 1 für N ≥ 2 , und 1 für 0 ≤ N ≤ 1 ?

Wie häufig ist dieses Szenario, in dem es möglich ist, die Entartung eines „allgemeinen“ oder „n th " Energieniveau? Wie häufig ist dies in komplizierteren Quantensystemen?

Nein, es ist nicht wahr. In 2 d ist die Entartung n +1, wie die Antwortdetails von @ZeroTheHero zeigen. Überprüfen Sie den Fall n = 4, um sich zu beruhigen. Lesen Sie auf Ihrer Jordan-Karte nach .
Ich habe vergessen, die Fälle zu berücksichtigen, in denen N X = 0 oder N j = 0 . Danke!

Antworten (3)

Im Fall des n-dimensionalen harmonischen Oszillators besteht die möglicherweise eleganteste Methode darin, die Menge der Zustände mit der Gesamtzahl zu erkennen M der Erregungsspanne die irrep ( M , 0 , … , 0 ) von S u ( N ) . Die Entartung ist also die Dimension dieser Irrep.

  • Für den 2D-Oszillator und S u ( 2 ) das ist nur M + 1 ,
  • Für den 3D-Oszillator und S u ( 3 ) das ist 1 2 ( M + 1 ) ( M + 2 )
  • Für den 4D-Oszillator und S u ( 4 ) das ist 1 3 ! ( M + 1 ) ( M + 2 ) ( M + 3 ) usw.
Vielleicht könnten Sie für zukünftige Benutzer N für su( N ) verwenden und die allgemeine Formel für die Entartung angeben ( M + N − 1 ) ( N − 1 ) ! M ! ?

Ja, das ist richtig, und im Allgemeinen ist es sehr üblich, zählen zu können. Für weitere Informationen sehen Sie sich die mikrokanonische Zustandsdichte an – sie ist sehr eng mit der Idee der Entropie verbunden (dh Entropie hängt mit der Anzahl der Entartungen in einem System zusammen).

Wenn Sie die gruppentheoretischen Implikationen ignorieren, sind die Eigenzustände der Zahlenoperatoren einfach

| N 1 , N 2 , … , N l ⟩ ,

mit der Einschränkung

∑ J = 1 l N J = N .

Dies liegt daran, dass die Energie von l entkoppelten Oszillatoren ist

E l = N

plus eine Konstante. Für fest N , der Entartungsraum ist einfach wie viele davon N Anregungen (eigentlich Bosonen!), über die Sie verteilen können l -Ebenen. Das ist das typische kombinatorische Problem mit Ersetzung, da beliebig viele Bosonen in jeden beliebigen Zustand aus passen können l möglich. Daher die Entartung

( l + N − 1 N ) .

Entartung des zweidimensionalen harmonischen Oszillators
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