Woher wissen wir, dass wir das gesamte Spektrum des harmonischen Oszillators erfasst haben, indem wir Ladder-Operatoren verwenden?

Betrachten Sie den standardmäßigen harmonischen Quantenoszillator. H = 1 2 m P 2 + 1 2 m ω 2 Q 2 .

Wir können dieses Problem lösen, indem wir die Leiteroperatoren definieren a und a † . Man kann zeigen, dass es einen eindeutigen "Grundzustands"-Eigenvektor gibt ψ 0 mit H ψ 0 = 1 2 ℏ ω ψ 0 und außerdem das bei einem beliebigen Eigenvektor ψ von H mit Eigenwert E , der Vektor a † ψ ist auch ein Eigenvektor von H mit Eigenwert E + ℏ ω .

Es wird jedoch normalerweise angegeben, dass wir jetzt alle Eigenvektoren von haben H indem alle Vektoren der Form betrachtet werden ( a † ) n ψ 0 .

Woher wissen wir, dass wir bei diesem Prozess keine Eigenvektoren übersehen haben? zB woher wissen wir, dass Eigenwerte nur von der Form sind E n = ( n + 1 2 ) ℏ ω ?

Auch eine etwas technischere Frage, woher wissen wir, dass das kontinuierliche Spektrum von H ist leer?

Die technischen Details, mit denen ich arbeite, sind die H = L 2 ( R ) und alle Operatoren ( H , P , Q ) sind im Schwartz-Raum definiert, so dass sie im Wesentlichen selbstadjungiert sind, wobei ihre eindeutigen selbstadjungierten Erweiterungen den tatsächlichen Observablen entsprechen.

Wir müssen die Energieeigenwerte nicht unter Verwendung von Ladder-Operatoren ableiten; vielmehr stellen die Leiteroperatoren einen bequemen Weg dar, um auf der Grundlage seiner Quantisierung zu Lösungen des einfachen harmonischen Oszillators zu gelangen. Betrachten Sie vergleichend, wie wir Wellenfunktionen und Eigenwerte mit der Reihenlösungsmethode ( google.ca/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://… ) finden, und versuchen Sie zu überlegen, wie die Formen der Lösungen zustande kommen. Verknüpfen Sie es dann mit den Leiteroperatoren.

Antworten (3)

Es genügt zu beweisen, dass die Vektoren | n ⟩ bilden eine Hilbert-Basis von L 2 ( R ) . Diese Tatsache kann durch die Verwendung der Leiteroperatoren nicht vollständig festgestellt werden. Um zu beweisen, dass die Spanne der oben erwähnten Vektoren im Hilbert-Raum dicht ist, sollte man den expliziten Ausdruck der Wellenfunktionen der besagten Vektoren aufschreiben, wobei man anerkennt, dass sie die wohlbekannte Hilbert-Basis der Hermite-Funktionen sind. Da die Vektoren | n ⟩ sind eine Hilbert-Basis, aus Standardergebnissen der Spektraltheorie, der Operator

(1) ∑ n ℏ ω ( n + 1 / 2 ) | n ⟩ ⟨ n |
(unter Verwendung der starken Operatortopologie, die den Definitionsbereich dieses Operators implizit definiert) ist selbstadjungiert und sein Spektrum ist ein reines Punktspektrum, das aus den Zahlen besteht ℏ ω ( n + 1 / 2 ) mit n natürlich. Diese Tatsache beweist, dass der anfängliche symmetrische Hamilton-Operator, den Sie in Ihrem Beitrag beschrieben und auf dem Schwartz-Raum definiert haben, mindestens eine selbstadjungierte Erweiterung mit dem genannten Spektrum zulässt (insbesondere findet kein kontinuierliches Spektrum statt). Um zu beweisen, dass es sich um die eindeutige selbstadjungierte Erweiterung handelt, dh dass der anfängliche symmetrische Operator im Wesentlichen selbstadjungiert ist, besteht der kürzeste Weg darin, zu beobachten, dass die Vektoren | n ⟩ sind notwendigerweise analytische Vektoren des anfänglichen Hamilton-Operators (beachten Sie, dass alle oben erwähnten Vektoren im Schwartz-Raum bleiben, der der anfängliche Bereich ist), weil sie Eigenvektoren sind. Da sie eine Hilbert-Basis sind, ist ihre Spanne dicht. Unter diesen Hypothesen impliziert ein berühmter Satz von Nelson, dass der anfängliche symmetrische Hamilton-Operator im Wesentlichen selbstadjungiert ist und daher (1) die einzige selbstadjungierte Erweiterung des anfänglichen symmetrischen Hamilton-Operators ist. Als abschließende Bemerkung ist es interessant anzumerken, dass (1) kein Differentialoperator ist, anders als der naive anfängliche Hamiltonoperator, der ein Differentialoperator ist, aber nicht selbstadjungiert.

Die in der Positionsbasis ausgedrückten Leiteroperatoren erzeugen tatsächlich die Rekursionsrelation für die Hermite-Polynome, und ihre wiederholte Wirkung ist eng mit der Rodrigues-Formel für Hermite-Polynome verwandt. Außerdem erzeugt der auf den Grundzustand wirkende Vernichtungsoperator bis zur Normierung eine Differentialgleichung mit Gaußscher Lösung. Würden Sie also nicht sagen, dass die Verwendung von Leiteroperatoren völlig gleichwertig ist mit der Verwendung tatsächlicher Basisfunktionen in der Positionsdarstellung?
Was Sie nicht nur mit Leiteroperatoren beweisen können, ist die Tatsache, dass die Spannweite der Vektoren | n ⟩ ist dicht drin L 2 . Orthogonalität kann stattdessen leicht mit dem Leiteroperator-Formalismus bewiesen werden.

Ich bin kein Experte, aber ich kann mir zwei Möglichkeiten vorstellen, warum es nicht mehr Eigenwerte als die von Ihnen erwähnten gibt.

1) Die mit den erwähnten Eigenwerten assoziierten Eigenzustände bilden eine vollständige Basis, und daher würde jede Hinzufügung eines neuen Eigenwerts die Hinzufügung eines zusätzlichen Eigenvektors implizieren, der orthogonal zu allen anderen, aber ungleich Null ist, was absurd ist.

2) Konkreter gesagt, wenn Sie einen anderen Eigenwert als diese hätten, könnten Sie den Vernichtungsoperator oft genug anwenden, um einen Eigenwert zu erhalten, der durch die Einschränkungen des Hamiltonian verboten ist

Auf den Kontinuumsteil des Spektrums habe ich keine Antwort und ich würde gerne eine lesen

Ein nettes Argument findet sich im Buch von EECommins, Abschnitt 6.13.1. Ich gebe hier eine kurze Skizze:

  • Alle Eigenwerte n von N = a † a sind ≥ 0 .
  • Es gibt ein einzigartiges Ket | 0 ⟩ st a | 0 ⟩ = 0 .
  • Wenn | n ⟩ ist ein Eigenket von N mit Eigenwert n , dann | n − 1 ⟩ ist ein Eigenket mit Eigenwert n − 1 .
  • Also alle Eigenwerte von N sind ganze Zahlen ≥ 0 . Wenn es einen positiven Eigenwert gibt k ∉ Z + , wir könnten uns bewerben a zum entsprechenden Eigenket, bis wir ein Eigenket mit negativem Eigenwert gefunden haben (effektiv "überspringen" | 0 ⟩ ), was der ersten Aussage widerspricht.
Der springende Punkt bei dieser Art von "Beweisen" ist, dass, obwohl sie eine interessante Idee beinhalten, jede Angelegenheit bezüglich Domains außer Acht gelassen wird, so dass ihr Status zweifelhaft ist.
Können Sie das näher erläutern? Zugegebenermaßen bin ich kein Mathematiker und weiß nicht, was Sie mit "Domänenproblemen" meinen. Es wäre hilfreich, wenn Sie explizit darauf hinweisen könnten, wo es einem solchen elementaren Lehrbuchbeweis an mathematischer Strenge mangelt.
Nun, zunächst einmal ist der aus Erzeugungs- und Vernichtungsoperator konstruierte Operator nicht selbstadjungiert, sondern nur symmetrisch. Seine Domäne ist konstruktionsbedingt eine dichte Unterdomäne des Schwartz-Raums. Da es nicht selbstadjungiert ist, ist der Spektralsatz im Prinzip nicht gültig, und jede Diskussion über sein Spektrum, die sich mit diesem Bereich befasst, ist im Prinzip zweifelhaft. Daher muss man zuerst beweisen, dass der betrachtete Operator eine möglicherweise eindeutige selbstadjungierte Erweiterung auf einem größeren Bereich zulässt, dann kann mit dieser Erweiterung jede Frage nach der Vollständigkeit des Spektrums angegangen werden.
Ich bin mir nicht sicher, ob Sie sagen, dass die aus Erzeugungs- und Zerstörungsoperatoren konstruierten Operatoren nicht selbstadjungiert sind. Einverstanden, dass, während die Schöpfungs- und Zerstörungsoperatoren selbst nicht selbstadjungiert sind, ihr Produkt N es sicherlich ist. Ja, es gibt Probleme mit Domänen, aber treten solche Probleme bei kontinuierlichen und differenzierbaren Potentialen wie dem harmonischen Oszillator auf?
Nun, das Bild ist ziemlich kompliziert, wenn man auf alle mathematischen Details achten möchte. Zum Beispiel, a † ist nicht der Adjunkt von a aber nur eine Einschränkung ... Hier haben Sie Operatoren im Schwartz-Raum definiert und suchen nach selbstadjungierten Erweiterungen einiger von ihnen.
Woher wissen wir, dass wir das gesamte Spektrum des harmonischen Oszillators erfasst haben, indem wir Ladder-Operatoren verwenden?
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