Gehört f(x)=1f(x)=1f(x) = 1 zum Hilbertraum des unendlich tiefen quadratischen Brunnens?

Lassen Sie das Quadrat gut auf dem Intervall liegen ( 0 , π ) . Allgemein wird postuliert, dass die Wellenfunktion dieses Systems an den Endpunkten verschwinden soll, also G ( 0 ) = G ( π ) = 0 .

Die Funktion F ( X ) ≡ 1 erfüllt diese Bedingung nicht. Aber es kann in Bezug auf die Eigenzustände erweitert werden { Sünde ⁡ N X } ,

F ( X ) = 4 π ( Sünde ⁡ X + 1 3 Sünde ⁡ 3 X + 1 5 Sünde ⁡ 5 X + … ) .

Daher sollte es zum Hilbert-Raum gehören, der von den Eigenzuständen aufgespannt wird, oder?

Andererseits hat dieser Zustand durch die Expansion unendliche Energie, was ihn zu einem ungültigen Zustand macht.

Antworten (1)

Im Allgemeinen wird der Hilbert-Raum für den unendlichen quadratischen Brunnen als angenommen

L 2 ( [ 0 , π ] ) = { F : [ 0 , π ] → C   |   | F | 2  ist Lebesgue integrierbar,  ∫ 0 π | F ( X ) | 2 D X < ∞ } ,
also ist die antwort ja .

Andererseits erfüllt Ihre Funktion weder die Bedingungen, die wir für die Menge der physikalischen Zustände im Brunnen benötigen, noch gehört sie zum Bereich der Hamilton-Funktion, die beide strenge Teilmengen des Hilbert-Raums sind.

Es ist eine unbequeme Tatsache, dass einige* Konfigurationen in der QM, die unendlichdimensionale Hilbert-Räume beinhalten, Zustände hervorrufen, die im Hilbert-Raum des Problems leben, die wir aber nicht als physikalische Zustände betrachten wollen. Dies ist eine unglückliche Folge der Tatsache, dass wir die Eigenschaft „Geschlossen unter unendlichen Überlagerungen“ von Hilbert-Räumen mögen, aber die Bedingungen, die wir gern Zuständen auferlegen, um sie „physikalisch“ zu nennen, unter diesen unendlichen Überlagerungen nicht geschlossen sind. Also, wissen Sie, uh. Aber es ist, was es ist, und wir tun einfach unser Bestes, um die Dinge so gut wie möglich zu kennzeichnen.

*Eigentlich meine ich mit "einige" alle Konfigurationen in QM, die unendlichdimensionale Hilbert-Räume beinhalten. Dieses Verhalten ist generisch und tritt überall auf - Beispiele sind leicht zu finden.

Was ist also die Domäne des Hamiltonoperators?
Im Grunde die Menge aller Funktionen ψ so dass H ψ ist noch drin L 2 ( [ 0 , π ] ) . Wenn Sie sich jedoch ernsthaft Sorgen über diese Probleme machen, lohnt es sich, sich lange mit einem Lehrbuch der Funktionsanalyse zu beschäftigen.
"Dies ist eine unglückliche Folge der Tatsache, dass wir die Eigenschaft von Hilbert-Räumen mögen, geschlossen unter unendlichen Überlagerungen zu sein, aber die Bedingungen, die wir Zuständen gerne auferlegen, um sie als "physikalisch" zu bezeichnen, sind unter diesen unendlichen Überlagerungen nicht geschlossen." Könnten Sie ein oder zwei Referenzen haben, um sich weiter damit zu beschäftigen? Und beziehen Sie sich auf das Postulat der hermitischen Observablen, wenn Sie „die Bedingungen nennen, die wir gern Staaten auferlegen, um sie ‚physisch‘ zu nennen“? Oder meinen Sie Normalisierung? Ich schätze Ihren Einblick in diese Anfragen.
@N.Steinle frage sie separat.
Gehört f(x)=1f(x)=1f(x) = 1 zum Hilbertraum des unendlich tiefen quadratischen Brunnens?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v