Statistische Pfadintegralnormalisierung

Ich betrachte also ein statistisches Pfadintegral, was bedeutet, dass ich mit einer euklidischen Aktion arbeite. Der Propagator meines (Wiener) Wegintegrals ist gegeben durch:

K ( x T , T | x 0 , 0 ) = ∫ x ( 0 ) = 0 x ( T ) = x T D x exp ⁡ ( − ∫ 0 T [ m 2 ( x ˙ ) 2 + f x ] d t ) ,
das ist im Grunde ein freies Teilchen in einem Gravitationspotential. Da die Wirkung quadratisch ist, gilt die WKB-Formel
K ( x T , T | x 0 , 0 ) ≈ − 1 2 π ∂ 2 S [ x k l ( t ) ] ∂ x 0 ∂ x T exp ⁡ ( − S [ x k l ( t ) ] )
sollte genau sein.

Die Bewegungsgleichung gibt mir, dass der Weg des Teilchens, das die Randbedingungen erfüllt, gegeben ist durch:

x k l ( t ) = f 2 m ( t − T ) t + x T − x 0 T t + x 0 .
Mit diesem Pfad kann ich die klassische Aktion berechnen, die gleich wird zu:
S k l = − f 2 24 m T 3 + f T 2 ( x T + x 0 ) + m 2 ( x T − x 0 ) 2 T .

Das Einsetzen aller meiner Ergebnisse in die WKB-Formel ergibt dann, dass der Propagator jetzt gegeben ist durch:

K ( x T , T | x 0 , 0 ) = m 2 π T exp ⁡ ( − m 2 ( x T − x 0 ) 2 T − f T 2 ( x T + x 0 ) + f 2 T 3 24 m ) .
Das Problem bei diesem Propagator ist jedoch, dass er nicht normalisiert bleibt. Wenn ich fordere, dass der Verbreiter immer normalisiert bleiben soll T , dann ist mein Propagator gegeben durch:
K ( x T , T | x 0 , 0 ) = m 2 π T exp ⁡ ( − m 2 ( x T − x 0 ) 2 T − f T 2 ( x T + x 0 ) + f 2 T 3 24 m − f T 6 [ f T 2 m − 6 x 0 ] ) ,
was im Vergleich zur ersten Version einen zusätzlichen Begriff ergibt.

Extra: Zeitscheibenmethode

Ich denke, dass ich die Ursache meines Problems gefunden habe, und es kann gesehen werden, indem man sich den infinitesimalen Propagator ansieht, der durch gegeben ist

K ( x j , t j | x j − 1 , t j − 1 ) = m 2 π Δ t j exp ⁡ ( x j − 1 f Δ t j + f 2 2 m ( Δ t j ) 3 ) × exp ⁡ ( − m 2 Δ t j [ x j − ( x j − 1 + f m ( Δ t ) 2 ) ] 2 ) .
Im oberen Teil sehen wir tatsächlich, dass die Normalisierung einen zusätzlichen Exponentialfaktor erhält, der dazu führt, dass der Pfadintegralpropagator (in der Zeit) divergiert. Beachten Sie auch, dass er (mehr oder weniger) die gleiche Form wie der benötigte Normalisierungsfaktor hat (unterstützt meine obige Behauptung)!

Frage (neu) : Zur Vereinfachung der Berechnung möchte ich, dass mein Propagator immer noch normalisiert bleibt. Ist es in Ordnung, nur die zweite normalisierte Version für meine Erwartungswerte zu verwenden, oder ist das einfach falsch? Die Beantwortung der alten Frage ist natürlich weiterhin willkommen, da sie für die weitere Erforschung des Pfadintegrals relevant werden kann.

Frage (alt) : Gibt es eine Art zusätzlichen Satz, der die Korrektheit der WKB-Formeln einschränkt, oder habe ich hier einen besonders wichtigen Begriff übersehen? Ich habe das Ergebnis ein paar Mal nachgerechnet und es scheint auf den ersten Blick alles zu stimmen.

Über die Lösung

Ich habe meine Lösung auch in der Literatur (Dittrich & Reuter) überprüft, aber sie haben die gleiche (abweichende) Lösung ohne Erklärung gefunden. So weiß ich zumindest, dass die gefundene Lösung richtig ist. Leider habe ich immer noch keine Ahnung, was das für meine Physik bedeutet.

Ja, das gibt es. Die WKB-Näherung hat Kaustiken und die korrekte WKB-Wellenfunktion muss Maslov-korrigiert werden, wenn eine von ihnen gekreuzt wird.
@QuantumBrick, interessant. Aber was ist der ätzende Punkt, den mein System durchlaufen hat? Es erscheint mir wie ein zu einfacher Lagrange, solche speziellen Sachen zu machen. Natürlich kann ich mich irren :s.
Es ist wirklich. Ich habe allgemein geredet. Ihr System ist ein freies Teilchen plus ein lineares Potential, richtig? Tatsächlich gibt es keine Ätzmittel. Ich werde versuchen, darüber nachzudenken, in der Hoffnung, dass jemand Klügerer kommt und dir zuerst antwortet. Haha
Ich glaube, Sie sind auf ein größeres Problem gestoßen, als Sie (und ich) uns vorgestellt haben. Tatsächlich können Sie sich den Propagator nicht als normalisierbar vorstellen. Darauf weist QMechanic in diesem Beitrag hin: physical.stackexchange.com/q/81230
@QuantumBrick, da ich Wiener-Pfadintegrale (rein reelle Pfadintegrale) betrachte, sollten sie immer normalisierbar sein. Die einzige Möglichkeit für mich, die Normalisierung zu verlieren / zu gewinnen, besteht darin, dass es eine Barriere gibt, an der Partikel extrahiert / hinzugefügt werden, was nicht der Fall ist. Mein Gedanke war, zu versuchen, das Pfadintegral mit der genauen Definition (Time-Slicing) zu berechnen, aber dann muss ich manuell normalisieren, was dazu führt, dass ich bei der zweiten Form lande. Irgendwie habe ich das Gefühl, dass das mit einer Wahlfreiheit zu tun hat, wie man sein Handeln wählt.

Antworten (1)

Wir erhalten die Aktion 1

(EIN) S [ x ]   =   ∫ d t   L , L   =   m 2 x ˙ 2 − v   =   m 2 x ˙ 2 + F x , v   :=   − F x ,

wo F ist eine konstante äußere Kraft. Die Dirichlet-Randbedingungen lauten

(B) x ( t ich )   =   x ich und x ( t f )   =   x f .

OP berechnet die On-Shell-Aktion korrekt

(C) S c l ( x f , t f ; x ich , t ich )   =   m 2 ( Δ x ) 2 Δ t + F x ¯ Δ t − F 2 24 m ( Δ t ) 3 ,

wo

(D) Δ t   :=   t f − t ich , Δ x   :=   x f − x ich , x ¯   :=   x f + x ich 2 .

Betrachten wir das quantenmechanische System im Minkowski-Raum. (Die statistische euklidische Formulierung findet sich über analytische Fortsetzung/ Dochtrotation τ E = ich t M .) Vor der ersten Kaustik ist das Kern / Weg-Integral durch die exakte quantenmechanische Formel gegeben

(E) K ( x f , t f ; x ich , t ich )   =   m 2 π ich ℏ 1 Δ t exp ⁡ [ ich ℏ S c l ( x f , t f ; x ich , t ich ) ] ,

wo die On-Shell-Aktion S c l ( x f , t f ; x ich , t ich ) ist durch den Ausdruck (C) gegeben. Man kann durch Gaußsche Integration überprüfen, dass diese Formel (E) die (Halb-)Gruppeneigenschaft genau erfüllt

(F) K ( x f , t f ; x ich , t ich )   =   ∫ R d x m   K ( x f , t f ; x m , t m ) K ( x m , t m ; x ich , t ich ) ,

was für die Pfadintegralformulierung von entscheidender Bedeutung ist . Wir betonen, dass der dritte und letzte Term auf der rechten Seite. von Gl. (C) spielt eine entscheidende Rolle für die Gültigkeit von Gl. (F). Jede der von OP vorgeschlagenen Änderungen würde die (Halb-) Gruppeneigenschaft (F) zerstören.

Wir betonen, dass die Normalisierungseigenschaft

(G) | ∫ R d x f   K ( x f , t f ; x ich , t ich ) |   = ?   1 ( ← Gilt nicht für einen generischen Propagator! )
kann für ein generisches Potential nicht aufrechterhalten werden, vgl. dies und diese Phys.SE Beiträge.

Die Normalisierungseigenschaft (G) gilt jedoch zufällig für den Propagator (E), sodass es kein Problem mit der Normalisierung im Minkowski-Raum gibt! Es scheint, dass die Normalisierungsprobleme von OP durch eine etwas kontraintuitive Normalisierungsbedingung im euklidischen Raum angespornt werden, die durch die analytische Fortsetzung / Wick-Rotation diktiert wird.

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1 Beachten Sie, dass die Interpretation von F als Kraft u v da ein Potential in der Aktion (A) unter Dochtdrehung sein Vorzeichen ändert. Mit anderen Worten, das Vorzeichen des Potentialterms in der Euklidischen und der Minkowski-Wirkung werden entgegengesetzt interpretiert. Dies ist natürlich ein bekannter Effekt, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

,Danke für die Antwort. Ich erinnere mich tatsächlich an meine Zweifel an der Normalisierung des Pfadintegrals in einer der verknüpften Fragen. Wenn ich das richtig verstanden habe, gibt es für den Propagator nur zwei wahre Eigenschaften: die Delta-Normalisierung und die (Halb-)Gruppeneigenschaft. Ich kann also tatsächlich nicht erwarten, dass ich, wenn ich im Minkowski-Raum normalisiert bin, immer noch in der imaginären Zeit normalisiert bleibe. Wenn ich Sie richtig verstehe, werden imaginäre Zeitpfadintegrale nicht normiert (weshalb wir dies als Partitionsfunktion definieren). Also sollte ich für meine Erwartungswerte durch diese Partitionsfunktion dividieren?
@Dominique: Ja.
klingt fair genug :-). Nochmals vielen Dank, dass Sie mir mit Pfadintegralen geholfen haben!
Vielleicht eine letzte Nebenfrage: Hat das Hinzufügen der Terme (die mein Pfadintegral normalisieren) nicht den gleichen Effekt wie das Einschätzen meiner Handlung, um sie richtig zu machen?
Messen welche Symmetrie?
Kann ich mein Handeln nicht nach Maßgabe des Formulars bestimmen? ∂ t f ( t ) , darf ich diese Art von Begriffen hinzufügen? Oder ist das für Pfadintegrale einfach falsch?
Es scheint, dass Sie über Mehrdeutigkeiten in der Off-Shell-Aktionsfunktion bis zu den Grenzbegriffen sprechen. Allerdings sind hier die Randbedingungen (B) gegeben, und die Einwirkung auf der Schale (C) ist die eindeutige Lösung.
Statistische Pfadintegralnormalisierung
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