Prinzip der kleinsten Wirkung in imaginärer Zeit

Question

Prinzip der kleinsten Wirkung in imaginärer Zeit

Physik
Wegintegral
halbklassisch
Dochtdrehung
Quantenmechanik
Statistische Mechanik

Alexej Sokolik

In der Quantenmechanik kann die Amplitude der Wellenfunktionsausbreitung unter Verwendung des Feynman-Pfadintegrals gefunden werden

⟨ z^{'} | e^{- ich T H / ℏ} | z ⟩ = \int_{X (0) = z X (T) = z^{'}} D X (T^{'}) \exp {\frac{ich}{ℏ} \int_{0}^{T} D T^{'} [\frac{M {\dot{X}}^{2} (T^{'})}{2} - v (X (T^{'}))]} .

$\langle z'|e^{-itH/\hbar}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(t)=z'} Dx(t')\: \exp\left\{\frac{i}\hbar\int_0^t dt'\:\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2-V(x(t'))\right]\right\}.$

In der (quasi)klassischen Grenze $\hbar\rightarrow0$ , kommt der führende Beitrag zum Integral von der klassischen Trajektorie

\frac{D}{D T^{'}} [\frac{M {\dot{X}}^{2} (T^{'})}{2}] - \frac{D}{D X} [v (X (T^{'}))] = 0,

$\frac{d}{dt'}\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2\right]-\frac{d}{dx}\left[V(x(t'))\right]=0,$ wo die Aktion minimal ist und Schwankungen um diese Flugbahn herum Quantenkorrekturen des Ergebnisses liefern.

In der statistischen Quantenphysik kann das Pfadintegral verwendet werden, um Matrixelemente einer thermischen Dichtematrix zu berechnen, indem auf die imaginäre Zeit umgeschaltet wird $\tau=it/\hbar$ :

⟨ z^{'} | e^{- β H} | z ⟩ = \int_{X (0) = z X (β) = z^{'}} D X (τ) \exp {- \int_{0}^{β} D τ [\frac{M {\dot{X}}^{2} (τ)}{2} + v (X (τ))]} .

$\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(\beta)=z'} Dx(\tau)\: \exp\left\{-\int_0^\beta d\tau\:\left[\frac{m\dot{x}^2(\tau)}2+V(x(\tau))\right]\right\}.$

Was ist die physikalische Bedeutung einer Least-Action-Trajektorie in der imaginären Zeit? Was bedeuten Schwankungen um diese Trajektorie und wie wirken sie sich qualitativ auf die resultierenden Matrixelemente aus?

Antworten (2)

Prinzip der kleinsten Wirkung in imaginärer Zeit

QMechaniker · Answer 1

Hier werden wir einen Aspekt der Frage von OP kommentieren, die wie folgt formuliert werden kann:

Welcher Zusammenhang besteht zwischen den WKB-Approximationen für das Pfadintegral in Minkowski- vs. Euklidischer Zeit?

Das ist eine großartige Frage. Betrachten wir den semiklassischen Limes $\hbar\to 0^{+}$ .

Einerseits, in Minkowski-Zeit, das Wegintegral
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Z_{M} & := \int D \frac{ϕ}{\sqrt{ℏ}} \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{M} [ϕ]} \\ \sim \sum_{ϕ_{C l}} \frac{1}{\sqrt{det (\dots)}} \exp {\frac{ich}{ℏ} S_{M} [ϕ_{C l}]} für ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_M&:=~\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_M[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\rm cl}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S_M[\phi_{\rm cl}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{1}$ wird von stationären Konfigurationen dominiert $\phi_{\rm cl}$ , dh Instantonen, vgl. die Näherung der stationären Phase . Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag. Die Quadratwurzel-Determinante im Nenner gibt ein Gaußsches Integral von Quantenfluktuationen um jeden Instanton an.
Andererseits in euklidischer Zeit das Wegintegral
$\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} Z_{E} & := \int D \frac{ϕ}{\sqrt{ℏ}} \exp {- \frac{1}{ℏ} S_{E} [ϕ]} \\ \sim \sum_{ϕ_{Mindest}} \frac{1}{\sqrt{det (\dots)}} \exp {- \frac{1}{ℏ} S_{E} [ϕ_{Mindest}]} für ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_E&:=~\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{- \frac{1}{\hbar} S_E[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\min}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi_{\min}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{2}$ wird offensichtlich von den globalen Minima dominiert $\phi_{\min}$ zur euklidischen Wirkung vgl. die Methode des steilsten Abstiegs . Alles andere wird exponentiell unterdrückt.

Die beiden Methoden 1 & 2 scheinen ziemlich unterschiedlich zu sein: Stationäre Punkte sind nicht dasselbe wie globale Minimapunkte.

Allerdings können sie gemäß den physikalischen Überlieferungen, vorausgesetzt, dass die relevanten analytischen Eigenschaften des Integranden gegeben sind, über die Wick-Rotation verbunden werden . Das ist bekanntermaßen leichter gesagt als getan, siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag.

Danke für die Antwort! Es geht jedoch nicht direkt auf meine Frage ein: Was ist die physikalische Bedeutung von Bahnen, bei denen die euklidische Wirkung minimal ist? Es scheint, dass, ähnlich wie bei der Ableitung von Lagrange-Gleichungen (nur das Vorzeichen von $V(x)$ Änderungen), können wir die Gleichung für diese Flugbahn wie erhalten $m\ddot{x}=V'(x)$ , was komisch aussieht.
Der euklidische Lagrange-Operator sieht aus wie ein Standard-Lagrange-Operator (dh kinetischer Term minus potentieller Term), mit einem scheinbaren Potential gleich minus $V$ , siehe zB this und this Phys.SE posts.

Ji Zou · Answer 2

Ich denke, Sie sollten zuerst den imaginären Zeitformalismus besser verstehen. Unten ist mein Verständnis dieses Problems.

Wenn wir uns mit dem Problem der endlichen Temperaturfeldtheorie befassen, gehen wir normalerweise in den imaginären Zeitbereich und verwenden weiter Matsubara-Frequenzen. Wie kann man es physikalisch verstehen? Grob gesagt können wir sagen, dass wir thermische Fluktuation in Quantenfluktuation umwandeln. Zuerst müssen wir verstehen, was thermische Schwankungen sind. Ohne thermische Schwankungen ist die Konfiguration einzigartig. Aufgrund der Temperatur kann das System mit Wahrscheinlichkeit eine andere Konfiguration haben:

P \propto e^{- β E}

$p\propto e^{-\beta E}$ Das meinen wir mit thermischer Schwankung. Beachten Sie, dass es keine Zeitabhängigkeit gibt, da wir uns um die Gleichgewichtseigenschaften kümmern. Aber für Quantenfluktuation haben wir Dynamik und das sagt es aus

φ (x, t)

$\varphi(x,t)$ hat Wahrscheinlichkeit:

φ (X, T) \propto e^{ich S (φ (X, T)) / ℏ}

$\varphi(x,t)\propto e^{iS(\varphi(x,t))/\hbar}$ Also, grob gesagt, wenn wir in die imaginäre Zeit gehen, wandeln wir die thermische Fluktuation um (

T

$T$ ) in Quantenfluktuationen (

dynamics: τ

$\text{ dynamics: } \tau$ ):

Tr e^{- β H} = \int D (\bar{ψ}, ψ) e^{- \frac{1}{ℏ} \int^{β ℏ} D τ L (τ)}

$\text{Tr} e^{-\beta H }=\int \mathcal{D}(\bar{\psi},\psi) e^{-\frac{1}{\hbar} \int^{\beta \hbar} d\tau L(\tau)}$

Danke schön! Ich interessiere mich hier jedoch für spezifischere Dinge: 1) zu welcher Flugbahn einen wesentlichen Beitrag leistet $\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle$ in der Klassik ( $\hbar\rightarrow0$ ) und Nulltemperatur ( $\beta\rightarrow\infty$ ) Grenzen? 2) Welche physikalische Bedeutung haben Schwankungen um diese Bahn? 3) Quantenfluktuationen ab welchem Zustand? Wie werden sie im Pfadintegral der imaginären Zeit verschränkt/entflochten?

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Alexej Sokolik

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