Pfadintegral und imaginäre Zeit in der Quanten- und Statistischen Mechanik

Question

Pfadintegral und imaginäre Zeit in der Quanten- und Statistischen Mechanik

Benutzer7418923

Ich bin auf die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik gestoßen und habe viele Websites, Artikel und Buchkapitel gefunden, die die Beziehung zur statistischen Mechanik erklären. Die allgemeine Argumentation (nach meinem Verständnis) scheint zu sein:

Die Quantenmechanik besagt, dass die Wahrscheinlichkeit eines Teilchenübergangs von $A$ Zu $B$ ist, durch leichten Schreibfehler, proportional zu

{(\sum_{alle Wege A \to B} \exp (\frac{ich}{ℏ} S [A \to B]))}^{2}

$\left(\sum_{\text{all paths $A\rightarrow B$}} \exp(\frac{\mathrm i}{\hbar} \mathcal S[A\rightarrow B])\right)^2$ Wo

A \to B

$A\rightarrow B$ ist der Weg, und

S

$\mathcal S$ ist seine Aktion. Das Argument ist, dass Pfade nicht stationär sind

S

$\mathcal S$ aufheben.

Die statistische Mechanik besagt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass sich ein System im Zustand befindet $B$ ist proportional zu

\exp (- \frac{1}{k_{B} T} E (B))

$\exp(-\frac{1}{k_{\mathrm B} T}E(B))$ Wo

k_{B}

$k_{\mathrm B}$ ist Boltzmanns Konstante,

T

$T$ ist Temperatur und

E (B)

$E(B)$ ist die Energie oder der Hamiltonoperator von B.

Die Verbindung zwischen den beiden wird normalerweise auf eine von zwei Arten hergestellt:

Der Wikipedia- Artikel besagt, dass es bei der Auswertung der QM-Gleichung bequem ist, störende Wellen zu vergessen und einfach zu ersetzen $\mathrm i$ von $(-1)$ , lassen die hoch $\mathcal S$ Werte verschwinden durch kleine Zahlen, anstatt durch Interferenz. Ich kann sehen, wie bequem das ist, aber ich sehe nicht, warum es richtig oder eine gültige Annäherung ist. Das Beste, was ich als Maß dafür finden konnte, wie die Auswirkung von Interferenzen skaliert $\mathcal S$ Ist $p(\mathcal S) \propto 1/\mathcal S^2$ , auf verschiedene Weise, aber am grundlegendsten in der $\operatorname{sinc}(x)$ Beugungsmuster gefunden.
Der gebräuchlichste Ansatz scheint zu sein, dass wir, um die beiden Gleichungen übereinstimmen zu lassen, auf "imaginäre Zeit" umschalten und Zeit ersetzen müssen $t$ durch inverse komplexe Temperatur $\hbar/\mathrm i T k_{\mathrm b}$ , bezeichnet als Dochtdrehung . Jetzt kann ich wiederum nachvollziehen, warum dies in der Tat sehr bequem ist, aber abgesehen von dem mathematischen Effekt, dass es eine Operation an einer Formel ist, die das gewünschte Ergebnis liefert, sehe ich keine physikalische Rechtfertigung.

Meine grundsätzlichen Probleme sind folgende:

Ich verstehe, dass die Verwendung der Zeit als komplexe Variable in der Relativitätstheorie gerechtfertigt ist. Die obigen Modelle sind jedoch nach meinem Verständnis nicht relativistisch.
Selbst wenn es komplex wäre, warum sollte es proportional zur Temperatur sein? In der statistischen Mechanik $T$ wird in einem gegebenen Szenario meistens als konstant angesehen. $t$ dagegen ist nie konstant. Ist das Ersetzen von Zeit durch Temperatur (komplex oder nicht) nicht dasselbe wie das Erfordernis, dass die Temperatur immer variiert?
Der Zweck von Wicks Drehung scheint nicht darin zu bestehen, die Bedeutung einer Formel zu ändern, sondern das Format zu ändern. Also die Minkowski-Metrik " $x^2-t^2$ wird zur euklidischen Metrik $x^2 + (\mathrm i t)^2$ . Wir haben uns verändert $-$ Zu $+$ Und $t$ Zu $\mathrm i t$ , und die Formel bleibt gleich. Im obigen Beispiel sieht es so aus, als würden wir uns nur ändern $t$ Zu $\mathrm i t$ , aber den Rest der Formel gleich lassen - daher hebt sich die "Rotation" nicht auf, es ist eine andere Formel. ZB die Dochtdrehung nicht $[x^2-t^2] \rightarrow [x^2 - (\mathrm i t)^2]$ , warum sollte es sein $\exp(\mathrm i t E) \rightarrow \exp(-t E)$ ?
Selbst wenn dies alles möglich wäre, sehe ich nicht ein, warum der Hamilton-Operator im allgemeinen Fall (Potenzial ungleich Null) einfach durch den Lagrange-Operator ersetzt werden kann.

Es scheint, dass jeder Text, den ich zu diesem Thema gefunden habe, einfach damit zufrieden ist, die Ausdrücke durch die erforderliche Transformation anzupassen. Es gibt (soweit ich fand) niemals eine physikalische Begründung oder Interpretation, nur dass das Ergebnis übereinstimmt (oder vielleicht ist die Verbindung offensichtlich und ich sehe sie nicht). Mir erscheint es willkürlich.

Was mich im Wesentlichen verwirrt, ist, dass ich den Ausdruck gerne verwenden würde

P (A \to B) \propto \exp (- konst \cdot S [A \to B]),

$p(A\rightarrow B) \propto \exp(-\text{const} \cdot \mathcal S[A \rightarrow B]),$ und es scheint, dass jeder (= viele Leute? einige?) das verwenden , aber ich kann anscheinend nicht herausfinden, was die Rechtfertigung ist oder unter welchen einschränkenden (aber gültigen) Annahmen dies wahr sein könnte und warum.

Jede mögliche Hilfe oder Vorschläge würden am meisten geschätzt. Danke!

Antworten (1)

Pfadintegral und imaginäre Zeit in der Quanten- und Statistischen Mechanik

Gertian · Answer 1

Blockquote Was mich im Wesentlichen verwirrt, ist, dass ich den Ausdruck gerne verwenden würde
$P (A \to B) \propto \exp (- C Ö N S T \cdot S [A \to B])$ $p(A\rightarrow B) ∝ \exp(−const⋅\mathcal{S}[A\rightarrow B])$

Das ist nicht sehr genau, man sollte versuchen, die Zustandssumme eines klassischen Systems mit dem Pfadintegral eines Quantensystems zu verknüpfen. Der richtige Ausdruck wäre also:

S \propto_{u P T Ö w ich C k R Ö T A T ich Ö N} \sum_{P A T H S} e X P \frac{ich}{ℏ} S [P A T H]

$S ∝_{up \ to \ wick \ rotation} \sum_{paths} exp{ \frac{i}{\hbar}S[path]}$

Wie kommen wir zu einem solchen Ergebnis?

Beginnen wir mit der Partitionsfunktion eines Systems.

Z = \sum_{S T A T e S} e X P - β E (S T A T e)

$Z=\sum_{states}exp{ -\beta E(state) }$

Wenn wir eine vollständige Grundlage für die Zustände einführen $|\psi>$ dann kann dies umgeschrieben werden als:

Z = \sum_{| ψ >} < ψ | e X P (- β H) | ψ >= \int D | ψ > < ψ | e X P (- β H) | ψ >

$Z = \sum_{|\psi>}<\psi|exp({-\beta H})\ |\psi> = \int d{|\psi>} <\psi|exp({-\beta H})\ |\psi>$

Jetzt werden wir die Dochtdrehung durchführen, wenn wir unsere Augen vor den Details verschließen, bedeutet dies einfaches Ersetzen $\beta = \frac{1}{kT} \rightarrow it$ das ist nur eine einfache Änderung von Variablen. Wir finden:

Z = \int D | ψ >< ψ | e X P (- ich H T) | ψ >

$Z = \int d|\psi><\psi|exp(-iHt)|\psi>$

Aber Feynmans Summe über das historische Pfadintegral sagt uns Folgendes: $<x|e^{-iHt}|x'> = \int_x^{x'}[dx]e^{i\int_0^t dt' L(t')}$ so dass wir dies umschreiben können als:

Z = \int D | ich N ich T ich A l C Ö N D ich T ich Ö N S ψ > \int_{| ψ >}^{| ψ >} D [F u l l C Ö N F ich G u R A T ich Ö N S | ψ >] e^{ich \int_{0}^{β} D T^{'} L (T^{'})}

$Z = \int d|initial conditions \ \psi>\ \int_{|\psi>}^{|\psi>}d[full configurations\ |\psi>]e^{i\int_0^{\beta} dt' L(t')}$

Der letzte Schritt ist eine Interpretation.

Wir sehen, dass die Konfiguration an $t=0$ Und $t = \beta$ muss identisch sein, wie wir uns entwickelt haben $|\psi>$ bei t = 0 bis $|\psi>$ bei $t=\beta$ . Dies wird dadurch implementiert, dass die Zeit eine periodische (= verdichtete) Dimension mit Radius sein muss $\beta$ .

Wir sehen auch, dass wir über alle möglichen Anfangsbedingungen integrieren, dies wird typischerweise in das Pfadintegral mit der Notation implementiert $\int d|\psi>\int_{|\psi>}^{|\psi>}[d|\psi>] = \int_[d|\psi>]$ .

Wir ersetzen auch $it \rightarrow t_E$ was in der Tat dem Wechsel zur euklidischen Signatur entspricht, henche der Index E.

Z = \int [D | ψ >] e^{- \int_{0}^{β} L_{E} D T_{E}}

$Z = \int[d|\psi>]e^{-\int_0^\beta L_E dt_E}$

Wo $L_E$ ist der euklidische Lagrangian, der durch die Substitution erhalten wird $t=it_E$ Zum Beispiel:

T = \frac{D X}{D T} \frac{D X}{D T} \to T_{E} = \frac{D X}{ich D T_{E}} \frac{D X}{ich D T_{E}} = - \frac{D X}{D T_{E}} \frac{D X}{D T_{E}}

$T = \frac{dx}{dt}\frac{dx}{dt} \rightarrow T_E = \frac{dx}{idt_E}\frac{dx}{idt_E} = -\frac{dx}{dt_E}\frac{dx}{dt_E}$

$V \rightarrow V_E = V$

So, wie Sie meinten: $L_E = -H_{Minkowski}$

Haftungsausschluss: Ich habe hier und da vielleicht einige Zeichen übersehen, aber die obige Erklärung sollte Ihnen definitiv helfen zu verstehen, was vor sich geht!

Ich schätze die Mühe und die schnelle Antwort sehr, aber ich muss zugeben, dass ich selbst in Ihrer Erklärung mit dem gleichen Problem konfrontiert bin: Warum können wir die imaginäre Temperatur durch die Zeit ersetzen? Sie sagten, es sei eine einfache Änderung von Variablen, aber wie kann ich Variablen und (mögliche) Konstanten austauschen? Betrachten Sie zum Beispiel ein System mit konstanter (!) Temperatur T, und darin befindet sich ein Teilchen, das sich mit x(t) = v*t bewegt. Indem t durch i/T ersetzt wird, bewegt es sich mit x(T) = iv/T. Jetzt wird seine Position nur noch durch Konstanten definiert und hängt von T ab (vorher nicht). Ich sehe den Sinn nicht.
Das Problem ist, dass Sie erkennen sollten, dass der Quantenfeldtheorie (Pfadintegral) ein Begriff der Temperatur fehlt und der statistischen Mechanik (Partitionsfunktion) ein Begriff der Zeit fehlt. Die Methode der Variablenänderung funktioniert nur, wenn Sie in einer reinen QFT- oder statistischen Denkweise denken, so dass einzelne Bewegungen von Teilchen niemals einen Sinn ergeben können!
Ich sehe, dass alles mathematisch gut zusammenpasst , aber physikalisch klingt es für mich so, als würde man Dinge mit völlig anderen Bedeutungen in völlig anderen Kontexten ersetzen. Ich kann nicht verstehen, warum die Tatsache, dass QFT mit T invariant ist und SM mit t invariant ist , bedeutet, dass diese Modelle gleichgesetzt werden können und sollten. Für mich klingt es so, als wäre das Gegenteil der Fall. Wie dem auch sei, es kann gut sein, dass dies nur bei mir der Fall ist, also nochmals vielen Dank für Ihre Bemühungen, das Problem zu klären. Es hat sicherlich einige neue interessante Erkenntnisse geliefert, die ich vorher noch nicht gesehen hatte, auch wenn ich es immer noch nicht ganz verstehe.
@ user7418923 Es ist ein rein mathematisches Ergebnis, das aus der Methode stammt, eine reelle (oder imaginäre) Variable auf die komplexe Ebene zu erweitern und dann entlang eines geschlossenen Pfads in der komplexen Ebene zu integrieren, beispielsweise entlang eines Viertelkreises, der am Ursprung zentriert ist und die Gerade hat Kanten entlang der reellen und imaginären Achse. Wenn die Funktion keine Pole innerhalb des Pfades hat, muss das Gesamtintegral verschwinden. Aber wenn Sie den Kreisradius gehen lassen $+\infty$ und der Beitrag des Viertelkreisbogens gegen Null geht, bleibt eine Äquivalenz zwischen den Integralen entlang der realen und der imaginären Achse.
@udrv Vielen Dank für die Eingabe, aber ich fürchte, ich sehe den Zusammenhang immer noch nicht vollständig. Sie beziehen sich auf die Konturintegration, richtig? Aber so wie ich es verstehe, lässt die Formulierung den Radius nicht zu $\infty$ , sondern der Winkel. Zum Beispiel beim Drehen $\exp(\mathrm i t)$ hinein $\exp(-T)$ , mit $T = -\mathrm i t$ , der Ausdruck ist einfach in einer anderen Form, aber diese Form ist immer noch nicht vom Typ "exponentieller Abfall", weil $T$ ist streng imaginär, und daher wird der oszillierende Charakter des Ausdrucks nur verdeckt, bleibt aber unverändert - nicht wahr?
Ja, es ist Konturintegration, aber nein, es ist nicht der Winkel $\infty$ . Wenn Sie mit beginnen $\exp(-\beta E)$ , die Erweiterung auf die komplexe Ebene bedeutet $\beta E \rightarrow z = \beta E + i\eta$ , Wo $\eta$ ist willkürlich und real. Dann hast du $\beta E + it = r\exp(i\phi)$ und das Exponential wird $\exp(-re^{i\phi})$ . Der Viertelkreis in der Kontur hat $r=const.$ , $0\le \phi \le \pi/2$ , und sein Beitrag verschwindet als $r\rightarrow \infty$ . Siehe diesen verwandten Beitrag zur Wick-Rotation, math.stackexchange.com/questions/335414/… .
Ich frage mich auch, warum es das Gefühl hat, dass in allen Diskussionen und Erklärungen der euklidischen QFT nach der Dochtdrehung zwei verschiedene Aspekte vermischt werden. Ich verstehe perfekt, wie Sie Integrale geschickter machen können, indem Sie analytische Fortsetzungen verwenden und die Kontur ändern. Ich verstehe nicht, wie es als Partitionsfunktion der statistischen Mechanik interpretiert werden kann: / Sicher wird der Exponent das explizite i los, aber das Ergebnis des Integrals muss sowieso gleich sein, also kann der Exponent als Ganzes nur komplex sein wie früher, oder?

Pfadintegral und imaginäre Zeit in der Quanten- und Statistischen Mechanik

Benutzer7418923

Antworten (1)

Gertian

Benutzer7418923

Gertian

Benutzer7418923

udrv

Benutzer7418923

udrv

Björn W

Randbedingungen für das Gravitationsbahnintegral

Prinzip der kleinsten Wirkung in imaginärer Zeit

Wie genau ist die Analogie zwischen statistischer Mechanik und Quantenfeldtheorie?

Übergangsamplituden nach funktionalen Methoden in der QFT

Pfadintegral in der Euklidischen Feldtheorie

Matsubara-Feldtheorie - was bedeutet imaginäre Zeit ττ\tau in G(τ,x)G(τ,x)G(\tau,\mathbf{x})?

Paradox bei der Ableitung des Pfadintegrals von Quantenfeldern

Funktionale Ableitung für dieselbe Funktion, ausgedrückt vor und nach der Wick-Rotation

Gebundene Zustände und Streulänge

Unsicherheit in der Pfadintegralformulierung