Wie genau ist die Analogie zwischen statistischer Mechanik und Quantenfeldtheorie?

Ich denke, es wird von der Art der statistischen Mechanik abhängen. Für die klassische statistische Mechanik gibt es keine Zeit, daher ist es wirklich schwierig, sich ein schönes physikalisches Bild der Ausbreitung von etwas vorzustellen. Aber trotzdem sprechen wir immer noch von Schleifen als sich ausbreitenden "Teilchen" (wir geben zum Beispiel die "Impulse" an, die erhalten bleiben usw.). Interessanterweise ist die Renormierung (à la Wilson) auf physikalischer Grundlage in der statistischen Physik leichter zu verstehen, wo die grobe Körnung eine sehr schöne Interpretation hat.

Andererseits ist die Analogie in der statistischen Quantenphysik etwas direkter, obwohl die Zeit immer noch imaginär ist, sodass sich nichts wirklich ausbreitet. Aber in gewisser Weise summieren wir immer noch alle Möglichkeiten (allerdings in einem statischen Sinne). In diesem Fall ergibt der AB-Effekt die Quantisierung des Flusses oder den Quanten-Hall-Effekt.

Denken Sie bei der ersten Frage jedenfalls daran, dass Schleifen, Feynman-Diagramme und virtuelle Teilchen Artefakte der Störungstheorie sind und daher keine wirkliche physikalische Interpretation haben.

Aus meiner naiven Sicht ist das nur ein mathematischer Trick, den man bei der physikalischen Interpretation nicht zu ernst nehmen sollte.

Immerhin ergibt eine auf die Schrödinger-Gleichung angewendete "Dochtrotation" eine Diffusionsgleichung. Dies ist hilfreich für einige mathematische Probleme, aber die Physik, die es beschreibt, unterscheidet sich sehr stark von der Quantenmechanik; ganz zu schweigen davon, dass die eine eine Wellengleichung und die andere eine Fokker-Planck-Gleichung ist.

Da die Quantenfeldtheorie und die statistische Feldtheorie die gleiche mathematische Struktur haben (dh ein Pfadintegral als erzeugendes Funktional), teilen sie sich auch nützliche Werkzeuge wie Green-Funktionen, Wick-Theorem, Feynman-Diagramme und so weiter, aber das ist eher ein mathematischer Zufall als eine tiefe bedeutungsvolle Analogie zwischen den beiden, meiner Meinung nach ...

[Mit statistischer Mechanik meine ich in dieser Antwort die klassische statistische Mechanik. Wenn Sie neugierig sind, über die Komplikationen nachzudenken, die hinzugefügt werden, wenn man die statistische Seite der Geschichte quantenmechanisch macht, dann klingt das nach einer sehr guten Übung. Zur Verdeutlichung siehe Kap. 3 von "Conformal Field Theory" von Di Francesco et al.]

Die Analogie zwischen „ euklidischen Quantenfeldtheorien“ und „ statistischer Gleichgewichtsmechanik in der Nähe von Phasenübergängen zweiter Ordnung“ ist genau, sobald Sie sie identifiziert haben$\hbar$(auf der Quantenseite) mit$1/\beta$(auf der statistischen Seite). Vorsicht mit den Begriffen Euklidisch und Gleichgewicht ist wichtig, um fehlgeleitete Analogien zu vermeiden. Die Nähe zu einem Phasenübergang zweiter Ordnung garantiert, dass (die Kontinuumsgrenze des zugrunde liegenden statistischen Systems ihn gut annähert und somit) die statistische Mechanik durch die statistische „Feldtheorie“ gut angenähert werden kann.

1) Grob gesagt geschieht in der Echtzeit-Quantenfeldtheorie jede Zwischenstufe mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zu$e^{iS/\hbar}$. Oft interpretierst du diese Zwischenstufen als "virtuelle Teilchen". In der euklidischen (oder imaginären Zeit) Quantenfeldtheorie gibt es keine "Zwischenstufe", daher ist die richtige Interpretation (nicht in Bezug auf virtuelle Teilchen, sondern), dass alle möglichen klassischen Konfigurationen mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zu der Zustandssumme beitragen$e^{-S/\hbar}$. Um nun diese euklidische QFT-Situation mit einer im Gleichgewicht befindlichen statistischen Mechanik in der Nähe eines Phasenübergangs 2. Ordnung zu verbinden, muss man nur spezifizieren, in welchem ​​Sinne „alle möglichen klassischen Konfigurationen mit einer Wahrscheinlichkeit proportional zu zur statistischen Zustandssumme beitragen$e^{-\beta S}$". Der Sinn, in dem die obige Aussage in der statistischen Gleichgewichtsmechanik wahr ist, ist natürlich der ergodische Sinn.

Zusammenfassend lautet die Antwort auf Ihre erste Frage, dass i) die Interpretation virtueller Teilchen nicht für die euklidische QFT gilt (die im Gegensatz zur Echtzeit-QFT analog zur statistischen Gleichgewichtsmechanik in der Nähe von Phasenübergängen zweiter Ordnung ist), ii) in beiden euklidischen QFT und statistischer Gleichgewichtsmechanik trägt jede erlaubte klassische Konfiguration zur Zustandssumme bei; Es ist nur so, dass dies in der euklidischen QFT eine grundsätzlich probabilistische Interpretation hat, während es in der statistischen Gleichgewichtsmechanik eine statistische Interpretation hat, die durch das Ergodentheorem unterstützt wird.

2) Ja. Tatsächlich kann jede euklidische Quantenfeldtheorie als Beschreibung eines statistischen physikalischen Gleichgewichtssystems in der Nähe eines Phasenübergangs zweiter Ordnung angesehen werden. Der Begriff Statistische Feldtheorie wird immer dann verwendet, wenn die Feldtheorie als Beschreibung eines statistischen Systems interpretiert wird.

3) Bei der euklidischen QFT gibt es keinen Aharonov-Bohm-Effekt (im Sinne von Elektronen, die sich ausbreiten und miteinander interferieren) . Dies ist eine ähnliche Verwirrung wie bei "virtuellen Teilchen", die darauf zurückzuführen ist, dass das Wort euklidisch nicht im Auge behalten wird; es gibt keine Ausbreitung in imaginärer Zeit QFT. Auch auf der Seite der statistischen Gleichgewichtsmechanik gibt es so etwas nicht. Wenn Sie jedoch nach Manifestationen von nicht trivialen Eichbündeln suchen, können Sie solche Manifestationen auf beiden Seiten finden, indem Sie Wilson-Schleifen betrachten , die um Solenoide zirkulieren, die in Ihrem Quanten- oder Statistiksystem installiert sind.

Ich muss einigen Antworten in dieser Frage widersprechen.

Erstens handelt es sich um eine Frage der Interpretation des Quantenformalismus (und einer vorherrschenden "Interpretation", der Kopenhagener)

Obwohl diese Interpretation (die ich unbefriedigend und nicht physikalisch finde) vorherrschend zu sein scheint (und es tatsächlich sein könnte), liegt das nicht daran, dass sie ein besseres oder klareres Verständnis der Quantenmechanik bietet (tatsächlich könnte das bekannte Zitat von R. Feynman relevant sein, "Niemand versteht Quantenmechanik")

Die meisten Physiker arbeiten nur an einem Formalismus und gehen auf keinen Interpretationsaspekt ein, obwohl sie ihn vielleicht unbefriedigend finden.

(manchmal wird daraus ein "wissenschaftliches Tabu")

Die geposteten Antworten, die von einer zufälligen Ähnlichkeit zwischen statistischer Mechanik und Quantenmechanik sprechen, sprechen also tatsächlich von Interpretation (dh der Kopenhagener Interpretation).

Eine spezifische Interpretation (die im besten Fall als historisches Artefakt oder vielleicht als Tradition, aber nicht unbedingt als Wissenschaft vorhanden ist) führt zu einer zugehörigen Antwort.

Lassen wir all dies für eine Minute beiseite (mein Standpunkt ist, dass die Verbindung zwischen Quantenmechanik und statistischer Mechanik, insbesondere Entropie, sehr interessant ist, siehe zum Beispiel https://math.stackexchange.com/a/782596/139391 ),

Sehen wir uns einige andere Beziehungen zwischen QM und SM an:

1. Plancks Konstante (und tatsächlich der Beginn von QM) lag an einem Problem der statistischen Mechanik (Schwarzkörperstrahlung). Weiterhin wurde die Plancksche Konstante h mit statistischen Methoden berechnet.

2. Die Dochtrotation hat eine physikalische Bedeutung (es gibt eine 1:1-Entsprechung zwischen einem "Quanten"-System und einem "statistischen" System). Der Formalismus spiegelt diese Tatsache tatsächlich wider

3. Es gibt Theorien (mehr oder weniger gesponsert), die die Quantenmechanik als Erweiterung der statistischen Mechanik ableiten (oder umgekehrt). Z.B. Stochastische Mechanik (ein guter Versuch), Verallgemeinerte Thermodynamik (in Bearbeitung) usw.

4. Quantenmechanik ohne komplexe Zahlen (und Hilbert-Räume) ist nur statistische Mechanik (und euklidische Räume). Eine Verwendung komplexer Zahlen besteht darin, eine Grenze, ein geschlossenes System oder periodische Bedingungen zu definieren. Da die Quantenmechanik ein EINZELNES System darstellen kann (im Gegensatz zur statistischen Mechanik, die GANZE von Systemen darstellt), geht alles auf das Doppelspaltexperiment (und dessen Interpretation) zurück.

5. Es gibt immer noch das Problem der Asymmetrie der Quantenmessung (und möglicher Beziehungen zur Entropie), für das eine gute Erklärung / Interpretation / Neuformulierung fehlt (die Kopenhagener Interpretation könnte in diesem Fall die schlechteste Interpretation sein).

Vielen Dank

UPDATE: unbeschwert kann man sagen, dass QM die QUADRATWURZEL von SM zu sein scheint, oder mutatis mutandis SM die QUADRAT von QM ist