Warum verwenden wir die imaginäre Zeitentwicklung in Simulationen einiger Quantensysteme?

Beginnen wir mit der üblichen Zeitentwicklung in der Quantenmechanik, um die Szenerie festzulegen. Es wird durch die Schrödinger-Gleichung geregelt (der Einfachheit halber beschränkt sich die Diskussion auf 1D, es ist trivial, das Argument auf höhere Dimensionen auszudehnen):

$$i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(x,t)$$ Wenn der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist (dh wenn das Potential zeitunabhängig ist), dann ist es einfach, die obige Gleichung zu lösen, um die Zeitabhängigkeit von zu finden$\psi(x,t)$. Was Sie tun müssen, ist zuerst die Eigenwertgleichung für den Hamilton-Operator zu lösen: $$\hat{H}\psi_n(x)=E_n\psi_n(x),$$ Wo$\psi_n(x)$sind die Eigenzustände und$E_n$die Energieeigenwerte. Zweitens müssen Sie die Wellenfunktion zu einem Anfangszeitpunkt erweitern (z$t=0$) in Bezug auf die Energieeigenzustände: $$\psi(x,0)=\sum_nc_n(0)\psi_n(x),$$ Wo$c_n(0)$sind die Ausdehnungskoeffizienten, die Sie durch Berechnung der Überlappung zwischen finden können$\psi(x,0)$und die Energiebasis-Eigenzustände. Drittens die Wellenfunktion zu einem späteren Zeitpunkt$t$wird gegeben von: $$\psi(x,t)=\sum_nc_n(0)e^{-iE_nt\hbar}\psi_n(x).$$ Die Zeitabhängigkeit ist so, dass jede Energie einen Eigenzustand hat$\psi_n(x)$„schwingt“ mit einer Frequenz, die proportional zum entsprechenden Energieeigenwert ist$E_n/\hbar$.

Als nächstes, um auf Ihre Frage zurückzukommen, betrachten wir eine Änderung der Variablen$\tau=it$. Sie können sich vorstellen$\tau$als "imaginäre Zeit". Wenden wir diese Variablenänderung auf die Schrödinger-Gleichung an, erhalten wir:

$$-\hbar\frac{\partial\psi(x,\tau)}{\partial\tau}=\hat{H}\psi(x,\tau).$$ Wieder als$\hat{H}$Zeitunabhängig ist die Abhängigkeit von$\tau$kann auf die gleiche Weise gelöst werden, wie die Abhängigkeit von$t$wurde oben gelöst und wir erhalten: $$\psi(x,\tau)=\sum_nc_n(0)e^{-E_n\tau/\hbar}\psi_n(x).$$ Sie können jetzt sehen, dass die Funktion$\psi(x,\tau)$zu imaginärer Zeit$\tau$nicht mehr durch eine „oszillierende“ Überlagerung von Energieeigenzuständen, sondern durch eine „exponentiell abklingende“ Überlagerung von Energieeigenzuständen. Weiterhin ist die exponentielle Abklingrate proportional zu$E_n/\hbar$.

Was haben wir erreicht, indem wir diese Variablenänderung vorgenommen haben?$t$Zu$\tau$? Betrachten Sie die Grenze des Großen$\tau$:

$$\psi(x,\tau\gg1)\simeq c_0(0)e^{-E_0\tau}\psi_0(x).$$ In dieser Grenze ist der Grundzustand$n=0$aus dem Anfangszustand "herausprojiziert", weil der entsprechende exponentielle Abfall am langsamsten ist. Daher können wir durch Entwicklung des Systems in "imaginärer Zeit" den Grundzustand des Hamilton-Operators erhalten$\psi_0(x)$als die lange imaginäre Frist.

Wird das immer funktionieren? Dies funktioniert nur, wenn beim Erweitern des Anfangszustands in Bezug auf Energieeigenzustände ein gewisser Beitrag des Grundzustands vorhanden ist. Wenn nicht, führt die lange imaginäre Zeitentwicklung stattdessen zu dem niedrigsten Energiezustand, der in der anfänglichen Expansion vorhanden ist.

Ein Bereich, in dem die imaginäre Zeitentwicklung verwendet wird, ist eine der genauesten Berechnungsmethoden zur Lösung der Schrödinger-Gleichung für Festkörper, Diffusionsquanten-Monte-Carlo . Bei diesem Verfahren wird die imaginäre Zeit-Schrödinger-Gleichung stochastisch als Diffusionsgleichung gelöst und der Grundzustand des Systems herausprojiziert.