Angenommen, ich möchte eine nichtlineare Schrödinger-Gleichung mit imaginärer Zeitausbreitung lösen, um die Grundzustandslösung zu erhalten. ich wähle , und lösen Sie dann die Gleichung mit der Split-Step-Crank-Nicholson-Methode . Alle angeregten Zustände zerfallen schneller als der Grundzustand und schließlich bleibt nur der Grundzustand übrig.
Angenommen, ich möchte überprüfen, ob die erhaltene Lösung stabil ist oder nicht. Zu diesem Zweck würde ich den erhaltenen Lösungen eine kleine Störung hinzufügen und sie weiterentwickeln. Wenn die Lösung stabil ist, sollte sie wieder in ihren ungestörten Zustand konvergieren, wenn nicht, wird sie divergieren.
Meine Frage ist, ob es möglich ist, den zweiten Teil mit imaginärer Zeitfortpflanzung zu machen? Kann mir jemand sagen, wo ich die Echtzeit- bzw. Imaginärzeitausbreitung verwenden und wo nicht verwenden soll?
Du hast es dir fast selbst beantwortet. Wenn Sie wirklich daran interessiert sind, eine stabile Lösung mit imaginärer Zeit für den Grundzustand zu erhalten, sollten Sie ihn nicht ein wenig stören. Stattdessen möchten Sie möglicherweise mit einer völlig anderen anfänglichen Wellenfunktion beginnen als mit der, mit der Sie begonnen haben.
Grundsätzlich wird die imaginäre Zeit verwendet, um den Grundzustand zu finden, so wie Sie es tun. Die Echtzeitausbreitung dient zum Studium der Dynamik. Sie können Ihre Ausgangszustandslösung testen, indem Sie sie in Echtzeit verbreiten und überprüfen, ob sie sich nicht ändert. Sie können den kleinen Störungstest ausprobieren, und Sie sollten zur richtigen Lösung zurückkehren (obwohl ich nicht weiß, wie viel Ihnen das wirklich sagt).
Beachten Sie, dass ich dies nur im Zusammenhang mit der Bose-Einstein-Kondensation getan habe. Daher müssen möglicherweise andere Faktoren berücksichtigt werden, wenn Sie etwas anderes studieren, obwohl mir keine einfallen. Wenn Sie ein "gutes" Potenzial (keine numerischen Singularitäten) und einen vernünftigen nichtlinearen Term haben (Sie stoßen nicht mit großen oder sehr kleinen Zahlen an die Grenzen Ihres Lösers), sollten Sie keine Probleme haben.
Einverstanden, wenn Sie die imaginäre Zeitentwicklungsmethode (ITEM) verwenden, erhalten Sie dadurch einen Grundzustand für eine bestimmte Frequenz. In Bezug auf die Stabilität konvergiert das ITEM nur zu linear stabilen Lösungen. Wenn Sie also vom ITEM einen Grundzustand erhalten, ist es linear stabil. Siehe zum Beispiel die beschleunigte Zeitentwicklungsarbeit von Jianke Yang