Wurzel von iii, welche soll man nehmen?

Question

Wurzel von iii, welche soll man nehmen?

Physik
Dochtdrehung
komplexe Zahlen
Quantenmechanik

Jiang min Zhang

Der Propagator eines freien Teilchens in 1d ist

K (X_{B}, T_{B}; X_{A}, T_{A}) = \sqrt{\frac{M}{2 π ich ℏ (T_{B} - T_{A})}} \exp [\frac{ich M (X_{B} - X_{A})^{2}}{2 ℏ (T_{B} - T_{A})}] .

$K(x_b, t_b; x_a, t_a ) = \sqrt{\frac{m}{2\pi i \hbar (t_b-t_a)}} \exp \left [ \frac{i m (x_b-x_a)^2}{2 \hbar (t_b-t_a)} \quad \right ] .$ Es sieht gut aus.

Aber hier haben wir eine Quadratwurzel von $i$ . Welche zwischen den beiden Wurzeln sollte genommen werden? Basierend auf welcher Regel?

Kyle Kanos

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "Welches sollte genommen werden?"

Adam

@KyleKanos: Ich denke, das OP bedeutet, dass Sie interpretieren können

\sqrt{i} = \pm \frac{1 + i}{\sqrt{2}}

$\sqrt{i}=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ , und dass es eine Zeichenmehrdeutigkeit gibt.

ACuriousMind

Nun, es ist nicht so, dass die Wurzel einer reellen Zahl eindeutig wäre ... warum stellen Sie diese Frage für

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$ und nicht für

\sqrt{m}

$\sqrt{m}$ ?

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/90558/2451

Jiang min Zhang

In der Tat. Wenn es nur wäre

m

$m$ , ich würde ohne zu zögern die positive nehmen. Aber für

i

$i$ , ich bin echt ratlos.

Frech

@Jiang-minZhang Er meint, dass per Konvention die

\sqrt{}

$\sqrt{}$ Symbol bedeutet nur die positive Wurzel. Auch wenn es dafür eine positive und eine negative Lösung gibt

z^{2} = i

$z^2=i$ , genauso wie es mit ist

z^{2} = n

$z^2=n$ , per Definition nehmen wir

\sqrt{i}

$\sqrt{i}$ um die positive Wurzel zu meinen, genau wie

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$ ist die positive Wurzel.

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Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit "Welches sollte genommen werden?"
@KyleKanos: Ich denke, das OP bedeutet, dass Sie interpretieren können $\sqrt{i}=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ , und dass es eine Zeichenmehrdeutigkeit gibt.
Nun, es ist nicht so, dass die Wurzel einer reellen Zahl eindeutig wäre ... warum stellen Sie diese Frage für $\sqrt{i}$ und nicht für $\sqrt{m}$ ?
In der Tat. Wenn es nur wäre $m$ , ich würde ohne zu zögern die positive nehmen. Aber für $i$ , ich bin echt ratlos.
@Jiang-minZhang Er meint, dass per Konvention die $\sqrt{}$ Symbol bedeutet nur die positive Wurzel. Auch wenn es dafür eine positive und eine negative Lösung gibt $z^2=i$ , genauso wie es mit ist $z^2=n$ , per Definition nehmen wir $\sqrt{i}$ um die positive Wurzel zu meinen, genau wie $\sqrt{n}$ ist die positive Wurzel.

Valter Moretti · Answer 1

Dieser Propagator ist nichts anderes als die analytische Fortsetzung der Green-Funktion der Wärmegleichung von realen positiven zu imaginären Werten $t_b-t_a$ . Der Schnitt in der komplexen Ebene, um die Quadratwurzel einwertig zu machen, muss daher entlang der negativen reellen Achse oder aber in der Halbebene gelegt werden $x<0$ . Bei diesem Schnitt ist die Quadratwurzel gut definiert.

Das alles bedeutet $\sqrt{i} = e^{i\pi/4}$ ist die mathematisch korrekte Wahl in dieser Formel, die ein Dirac-Delta für erzeugt $t_a=t_b$ .

Eine einfache Möglichkeit, die richtige Wurzel zu wählen, besteht darin, zu beachten, dass alle Quadratwurzeln einen positiven Realteil haben, wenn der Quadratwurzel-Zweig entlang der negativen reellen Achse geschnitten wird.
Eigentlich sind wir hier daran interessiert, was für imaginäre Werte passiert, die analytisch von der positiven reellen Achse fortgeführt werden, so dass der Schnitt allgemeiner in der reellen negativen Halbebene genommen werden kann, die vom Ursprung ausgeht, nicht unbedingt entlang der negativen Achse.
Ja. Aber für eine schnelle und fertige Faustregel, wenn die negative reelle Achse als Schnitt für funktioniert $\sqrt{z}$ dann für deine zwecke $\mathrm{Re}(\sqrt{z})>0$ .
@Emilio Pisanty: Ich stimme zu, die Faustregel lautet, den Schnitt entlang der negativen reellen Achse zu setzen.

QMechaniker · Answer 2

Definieren $\Delta t := t_b-t_a$ Und $\Delta x := x_b-x_a$ .

Dafür sollte man sorgen

\begin{matrix} (1) & R e (ich Δ T) > 0 \end{matrix}

$\tag{1}{\rm Re}(i\Delta t)~>~0$

positiv ist, um für den Exponentialfaktor

\begin{matrix} (2) & \exp [- \frac{M}{2 ℏ} \frac{(Δ X)^{2}}{ich Δ T}] \end{matrix}

$\tag{2}\exp \left [- \frac{ m}{2 \hbar}\frac{(\Delta x)^2}{ i\Delta t} \right]$

exponentiell gedämpft werden.

Entsprechend sollte man den Feynman ausführen $i\epsilon$ Rezept, dh Ersatz $\Delta t\to\Delta t-i\epsilon$ im Vermehrer. Diese Anforderung (1) soll dies sicherstellen

\begin{matrix} (3) & ⟨ X_{B}, T_{B} | X_{A}, T_{A} ⟩ ⟶ δ (Δ X) für Δ T \to 0 \end{matrix}

$\tag{3} \langle x_b ,t_b | x_a ,t_a \rangle ~\longrightarrow~\delta(\Delta x) \quad \text{for} \quad \Delta t \to 0$

wenn man den Zweig der Quadratwurzel nimmt, der einen positiven Realteil hat.

Tyrannisieren · Answer 3

Da der Propagator durch die Relation definiert ist

ψ (X, T) = \int K (X^{'}, X, T, T^{'}) ψ (X^{'}, T^{'}) D X^{'} D T^{'}

$\psi(x,t) = \int K(x',x,t,t') \psi(x',t') dx'\, dt'$ Eine einzelne Mehrdeutigkeit würde zu einer Phasenänderung der Wellenfunktion führen, was die Vorhersagen der Quantenmechanik nicht ändert. Es spielt also keine Rolle, welche Quadratwurzel man zieht, aus fixen Ideen ziehe ich immer die Wurzel

\sqrt{(} z) = “ z “^{1 / 2} e^{ich Arg (z) / 2}

$\sqrt(z) = \|z\|^{1/2} \, e^{i \arg(z) / 2}$

Es ist physikalisch richtig, aber aus mathematischer Sicht erzeugt nur eine Phasenwahl eine Identität für $t=t'$ in deiner ersten Identität ...

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